问题描述
设 X, Y 为 2 个随机变量，概率密度函数为 pdf1 和 pdf2。
Z = X + Y
那么Z的概率密度函数由pdf1和pdf2的卷积给出。 由于我们无法处理连续分布，我们描述了连续分布并处理它们。
为了找到均匀分布和正态分布的卷积，我想出了以下代码。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats
from scipy import signal
uniform_dist = stats.uniform(loc=2, scale=3)
std = 0.25
normal_dist = stats.norm(loc=0, scale=std)
delta = 1e-4
big_grid = np.arange(-10,10,delta)
pdf1 = uniform_dist.pdf(big_grid)
print("Integral over uniform pdf: "+str(np.trapz(pdf1, big_grid)))
pdf2 = normal_dist.pdf(big_grid)
print("Integral over normal pdf: "+str(np.trapz(pdf2, big_grid)))
conv_pdf = signal.fftconvolve(pdf1,pdf2,'same')
print("Integral over convoluted pdf: "+str(np.trapz(conv_pdf, big_grid)))
plt.plot(big_grid,pdf1, label='Tophat')
plt.plot(big_grid,pdf2, label='Gaussian error')
plt.plot(big_grid,conv_pdf, label='Sum')
plt.legend(loc='best'), plt.suptitle('PDFs')
plt.show()
这是我得到的输出。
均匀积分 pdf: 0.9999999999976696
对普通 pdf 的积分：1.0
积分过卷积 pdf: 10000.0
如果卷积是正确的，我应该得到一个接近于 1 的“积分超过卷积 pdf”的值。 那么这里出了什么问题呢？ 有没有更好的方法来解决这个问题？
谢谢
1楼
您应该在卷积之前将您的 pdf 描述为概率质量函数。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats
from scipy import signal
uniform_dist = stats.uniform(loc=2, scale=3)
std = 0.25
normal_dist = stats.norm(loc=0, scale=std)
delta = 1e-4
big_grid = np.arange(-10,10,delta)
pmf1 = uniform_dist.pdf(big_grid)*delta
print("Sum of uniform pmf: "+str(sum(pmf1)))
pmf2 = normal_dist.pdf(big_grid)*delta
print("Sum of normal pmf: "+str(sum(pmf2)))
conv_pmf = signal.fftconvolve(pmf1,pmf2,'same')
print("Sum of convoluted pmf: "+str(sum(conv_pmf)))
pdf1 = pmf1/delta
pdf2 = pmf2/delta
conv_pdf = conv_pmf/delta
print("Integration of convoluted pdf: " + str(np.trapz(conv_pdf, big_grid)))
plt.plot(big_grid,pdf1, label='Uniform')
plt.plot(big_grid,pdf2, label='Gaussian')
plt.plot(big_grid,conv_pdf, label='Sum')
plt.legend(loc='best'), plt.suptitle('PDFs')
plt.show()
2楼
要使用离散化的 pdf 进行这项工作，您需要对fftconvolve的输出进行归一化：
conv_pdf = signal.fftconvolve(pdf1, pdf2, 'same') * delta
请注意， fftconvolve完成，因为它不知道实际的 pdf，只知道值。
3楼
除了离散化之外，目前这对于 scipy.stats 连续分布似乎是不可能的，因为卷积会产生独特的分布。 如果一个密度函数是高斯函数而另一个是均匀函数，则它们的卷积是“模糊高斯函数”。 这既不是高斯分布也不是均匀分布。
然而，有一些有用的特殊情况。 例如，如果您正在处理正态分布，则两个独立分布的卷积也是正态的。
只有一个细节没有在您的问题中强调 - 卷积公式仅在 X 和 Y 独立时才成立。