CodeForces 938B XOR-pyramid

题外话

当我考试时看到这道题时，离考试结束只剩20分钟了。。。

然后，我飞一般地分析了样例，猜出了结论，过了这道题。（想想都觉得惊心动魄。。。手都要起飞了。。。）

题目

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题目大意

对于一个长度为$m$的数组$b$，定义函数：

$$f(b)=\begin{cases} b[1] & m=1 \\ f(b[1]\bigoplus b[2],b[2]\bigoplus b[3],\cdots,b[m-1]\bigoplus b[m]) & m>1 \end{cases}$$
现给定一个长度为 $n$序列 $a$，给出 $q$个询问，对于每个询问，输出给定区间内连续子串的最大函数值。

思路

看题可知，$q$的值非常地大（$q\leq 100000$）而$n$却非常小（$n\leq 5000$），很容易往离线操作上靠，即用$O(1)$的时间复杂度来回答询问。DP是一个不错的选择。

我们定义$f[l][r]$为区间$[l,r]$中$f$函数值。先来找一下规律：

举个例子吧：（根据样例一绘制）

不难发现，$f[l][r]$被递归成了$f[l+1][r]\bigoplus f[l][r-1]$。（画图分析是多么重要）

我们还可以发现边界条件：$f[l][r]=a[l](l=r)$。

若实在不相信这个结论，就请画出更多的图，你会发现这个结论是正确的。

自然，这道题就变成了一道区间DP题。

我们再定义$g[l][r]$为区间$[l,r]$的最大函数值，可得出状态转移方程：

$$g[l][r]=\begin{cases} f[l][r] & l=r \\ \max(f[l][r],g[l+1][r],g[l][r-1]) & l\ne r \end{cases}$$
所以，还等什么呢？

正解代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;const int Maxn=5000;int N,A[Maxn+5];
int f[Maxn+5][Maxn+5];
int ans[Maxn+5][Maxn+5];int main() {#ifdef LOACLfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifscanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++) {scanf("%d",&A[i]);ans[i][i]=f[i][i]=A[i];}for(int i=2;i<=N;i++)for(int j=1;j<=N-i+1;j++) {int k=j+i-1;f[j][k]=f[j+1][k]^f[j][k-1];ans[j][k]=max(ans[j+1][k],ans[j][k-1]);if(f[j][k]>ans[j][k])ans[j][k]=f[j][k];}int q;scanf("%d",&q);while(q--) {int l,r;scanf("%d %d",&l,&r);printf("%d\n",ans[l][r]);}return 0;
}