CodeForces 10D LCIS

题目

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题目大意

给定两个长度分别为$N,M$的序列$A,B$，求两个序列的最长公共上升子序列并输出方案。

思路

首先拿到这道题，我就决定将这道题分解为两个问题：最长上升子序列，最长公共子序列。

但是，交到CF上后，却~~成功地~~WA了。（QAQ。。。）

我开始了我的探索之旅。。。

Step1.时间复杂度为$O(N^4)$的暴力算法

可以仿造最长上升子序列的状态定义：定义$f[i][j]$为以$A[i],B[j]$为结尾的最长公共上升子序列。

不难列出状态转移方程

$$f[i][j]=\begin{cases}\max(f[k][l])+1&A[i]=B[j],A[i]>A[k]\\0&A[i]\ne B[j]\end{cases}$$

其中$1\le i\le N,1\le j\le M,i<k\le i,j<l\le j$

代码非常水，请读者自行实现。

Step2.时间复杂度为$O(N^3)$的算法

我们都知道，LCIS是由LCS和LIS演变而来，所以，我们分析一下LCS和LIS的算法：

在LIS中，$f[i]$表示以$A[i]$结尾的最长上升子序列的长度，LCS中$f[i][j]$表示以$A[1\ldots i],B[1\ldots j]$的最长公共子序列的长度。

为什么LIS要这么定义？？？

因为我们在计算$f[i]$时，需要考虑上一个值，这样才能确定是否将$A[i]$加入，而在LCS中，当我们计算$f[i][j]$时，是不需要考虑上一个值的，只需考虑当前值即可。

而在LCIS中，我们也需要知道上一个值的信息，$f[i][j]$，也就是上一个值的信息为$A[i],B[j]$，而当$A[i]=B[j]$时，信息是重复的。所以，我们要消除这种重复。

综上所述，我们改变一下状态定义：

定义$f[i][j]$为在$A[1\ldots i],B[1\ldots j]$上的LCIS，并在$B[j]$处结尾。

则得出状态转移方程：

$$f[i][j]=\begin{cases}f[i-1][j]&A[i]\ne B[j]\\\max(f[i-1][k])&1\le k<j,B[j]>B[k]\end{cases}$$

其中：$1\le i\le N,1\le j\le M$。

自然得出代码：（由于CF的评测机升级过一次，本题又是升级前的题，故$O(N^3)$的算法能够过）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;const int Maxn=500;int N,M;
int A[Maxn+5],B[Maxn+5];
int f[Maxn+5][Maxn+5];int main() {#ifdef LOACLfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifscanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&A[i]);scanf("%d",&M);for(int i=1;i<=M;i++)scanf("%d",&B[i]);int ans=0;for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=M;j++) {if(A[i]!=B[j])f[i][j]=f[i-1][j];else {int tmp=0;for(int k=1;k<j;k++)if(f[i-1][k]>tmp&&B[j]>B[k])tmp=f[i-1][k];f[i][j]=tmp+1;if(ans<f[i][j])ans=f[i][j];}}printf("%d\n",ans);return 0;
}

Step3.时间复杂度为$O(N^2)$的算法

还可以优化？？？

我们若要对它优化，也只有优化当$A[i]=B[j]$的状态转移了。因为外层的两个循环，是无论如何也搞不掉的。

看看这段代码：

int tmp=0;
for(int k=1;k<j;k++)if(f[i-1][k]>tmp&&B[j]>B[k])tmp=f[i-1][k];
f[i][j]=tmp+1;

当$A[i]=B[j]$时，就等价于：

int tmp=0;
for(int k=1;k<j;k++)if(f[i-1][k]>tmp&&A[i]>B[k])tmp=f[i-1][k];
f[i][j]=tmp+1;

这是在求在$f[i-1][k](1\le k<j)$中，满足$A[i]>B[k]$的最大值。

我们不难发现：$i$的值是不变的，而$j$的值是保持递增的，所以，我们可以考虑保存一个变量$t$，记录一下在$f[i-1][k](1\le k<j)$中，满足$A[i]>B[k]$的最大值。当$j$增加时，就可以只用$O(1)$的时间更新$t$和$f[i][j]$。时间复杂度就成功的降到了$O(N^2)$。

Step4.空间复杂度为$O(N)$的算法

我们甚至可以采用滚动数组来进行DP。

但我们在输出路径时就不能使用递归输出，而应多开一个数组来记录路径。

正解代码

因为要输出路径，所以我们需要开一个pre数组来记录状态转移的路径。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Maxn=500;
int N,M;
int A[Maxn+5],B[Maxn+5];
int f[Maxn+5],pre[Maxn+5];
int ans[Maxn+5];
int main() {#ifdef LOACLfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifscanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&A[i]);scanf("%d",&M);for(int i=1;i<=M;i++)scanf("%d",&B[i]);for(int i=1;i<=N;i++) {int pos=0;for(int j=1;j<=M;j++) {if(A[i]==B[j])f[j]=f[pos]+1,pre[j]=pos;if(A[i]>B[j]&&f[j]>f[pos])pos=j;}}int maxx=-1,pos;for(int i=1;i<=M;i++)if(f[i]>maxx) {maxx=f[i];pos=i;}for(int i=maxx;i>=0;i--) {ans[i]=B[pos];pos=pre[pos];}printf("%d\n",maxx);for(int i=1;i<=maxx;i++)printf("%d ",ans[i]);return 0;
}

如果你采用的二维数组，也可以采用递归输出：

void Print(int x,int y) {if(f[x][y]==1) {printf("%d ",B[y]);return;}if(x==0||y==0)return;if(f[x][y]==f[x-1][y]) {Print(x-1,y);return;}for(int i=y-1;i>=1;i--)if(B[i]<B[y]&&f[x][y]==f[x-1][i]+1) {Print(x,i);printf("%d ",B[y]);return;}
}