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题目

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题目大意

给定$N,T$要求求出满足下列条件的填数方案数。
1. 对于第$j(2\le j\le N-1)$个数$a_j$，有$T$个需要满足$a_{j-1}<a_j$且$a_j>a_{j+1}$；
2. 对于第$j(2\le j\le N-1)$个数$a_j$，有$T-1$个需要满足$a_{j-1}>a_j$且$a_j<a_{j+1}$；
3. 对于任意两个相邻的数$a_i,a_j$，需要满足$a_i\ne a_j$；
4. 所填数字只能是$1,2,3,4$。

思路

关于统计类问题的解法一般有DP，暴力DFS。

而从这道题的题意来看，暴力肯定是不行的，所以我们只能使用DP。

我们定义状态为$f[i][j][k][0/1]$，表示现在已经填到了第$i$个位置，已经有$j$个位置满足上述条件，且当前所填的数为$k$，当前趋势为上升/下降。

状态转移

先给出状态转移方程吧。

$$\begin{cases}f[i][j][k][0]=\sum_{l=1}^{k-1}{f[i-1][j][l][0]+f[i-1][j][l][1]}\\f[i][j][k][1]\begin{cases}\sum_{l=k+1}^{4}f[i-1][j][l][1]\\\sum_{l=k+1}^{4}f[i-1][j-1][k][0]+f[i-1][j][l][1](j >0)\end{cases}\end{cases}$$

解释一下：

上升的第一种$f[i-1][j][l][0]$，即两个都处于同一个上升段，故直接相加；

上升的第二种$f[i-1][j][l][1]$，即上一个数是一个下降段的末尾，故也应直接相加；

下降的第一种$f[i-1][j][l][1]$，即两个数都处于下降段，故直接相加；

下降的第二种$f[i-1][j-1][l][0]$，即上一个点是一个上升段的末尾，故也应直接相加。

初始状态

这里还是先给出初始状态再解释。

$$f[2][0][4][0]=3\\f[2][0][3][0]=2\\f[2][0][2][0]=1$$

第一个：当当前数字为4，处于上升段，则第一个数字有3种选择；

同理可推出第二、第三个初始状态。

正解代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int Maxn=20;
const int Maxt=10;int N,T;
int f[Maxn+5][Maxt+5][4][2];int main() {#ifdef LOACLfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifscanf("%d %d",&N,&T);f[2][0][4][0]=3;f[2][0][3][0]=2;f[2][0][2][0]=1;for(int i=3;i<=N;i++)for(int j=0;j<=T;j++)for(int k=1;k<=4;k++)for(int l=1;l<=4;l++) {if(l<k)f[i][j][k][0]+=f[i-1][j][l][0]+f[i-1][j][l][1];if(l>k)f[i][j][k][1]+=f[i-1][j][l][1]+(j>0?f[i-1][j-1][l][0]:0);}int ans=0;for(int i=1;i<=4;i++)ans+=f[N][T][i][1];printf("%d\n",ans);return 0;
}