连珠线[APIO2014](换根Dp)

题目

Luogu
在达芬奇时代，有一个流行的儿童游戏称为连珠线。当然，这个游戏是关于珠子和线的。线是红色或蓝色的，珠子被编号为 $1$ 到 $n$。这个游戏从一个珠子开始，每次会用如下方式添加一个新的珠子：
$Append(w,v)$：一个新的珠子 $w$ 和一个已经添加的珠子 $v$ 用红线连接起来。
$Insert(w,u,v)$：一个新的珠子 $w$ 插入到用红线连起来的两个珠子 $u,v$ 之间。具体过程是删去 $u,v$ 之间红线，分别用蓝线连接 $u,w$ 和 $w,v$。
每条线都有一个长度。游戏结束后，你的最终得分为蓝线长度之和。
给你连珠线游戏结束后的游戏局面，只告诉了你珠子和链的连接方式以及每条线的长度，没有告诉你每条线分别是什么颜色。
你需要写一个程序来找出最大可能得分。即，在所有以给出的最终局面结束的连珠线游戏中找出那个得分最大的，然后输出最大可能得分。
$1\le N\le 2?10^5$

思路

题目理解了好久。。。
发现没有这样的

因为我们确定一开始的球之后，只会存在 $fa?u?v$ 的连边
于是可以考虑枚举一开始的球，然后当 $fa?u$ 这条边被占用只有当 $u$ 为蓝线中点
于是可以列出 $dp$ 定义：
$f[u][0]$ : $u$ 子树内 $u$ 不作为蓝线中点的最大长度
$f[u][1]$ : $u$ 子树内 $u$ 作为蓝线中点的最大长度
注意 $f[u][1]$ 的答案会在 $fa$ 那里计算，所以对于根节点是没有 $f[u][1]$ 的
考虑转移

$f[u][0]={\sum }_{v\in so{n}_u}max(f[v][0],f[v][1]+w_{uv})$

然后对于 $f[u][1]$ 我们可以以 $f[u][0]$ 为基础转移，有：

$f[u][1]=f[u][0]+max(f[v][0]+w_{uv}?max(f[v][0],f[v][1]+w_{uv}))$

也就是减去某个儿子，再加这个新的贡献
但是为了方便转移，我们写成这样

$f[u][0]={\sum }_{v\in so{n}_u}max(f[v][0],f[v][0]+f[v][1]+w_{uv})$

然后对于 $f[u][1]$ 我们可以以 $f[u][0]$ 为基础转移，有：

$f[u][1]=max(f[v][0]+w_{uv}?max(f[v][0],f[v][0]+f[v][1]+w_{uv}))$

这样 $f[u]$ 的两种状态就互不干扰了(不这样好像很难写)
我们的答案就是 $f[root][0]$
如果枚举根的话则是 $O(n^2)$ 的
考虑换根 $Dp$

由于 $f[u][1]$ 中 $fa?u$ 的答案是在 $fa$ 时候算的，
我们可以假设根节点也有 $f[u][1]$ 的状态方便转移
现在 $f[u][0]$ 是以 $u$ 为根的最大值
我们可以先算出 $v$ 对 $f[u][0]$ 的贡献

$d=max(f[v][0],f[v][0]+f[v][1]+w_{uv})$

在考虑以 $v$ 为根：

$f[v][0]=f[v][0]+max(f[u][0]?d,f[u][0]?d+f[u][1]+w_{uv})$

$f[v][1]=max(f[v][1],f[u][0]?d+w_{uv}?max(f[u][0]?d,f[u][0]?d+f[u][1]+w_{uv}))$

但发现这里 $f[u][1]$ 可能是由 $v$ 转移过来的
于是要保留最大和次大记为 $f[u][1]$ 和 $f[u][2]$
为了简便我们记

$Mx=max(f[u][0]?d,f[u][0]?d+f[u][1]+w_{uv})$

则有

$f[v][1]=max(f[v][1],f[u][0]?d+w_{uv}?Mx)$

然后最大值次大值讨论一下即可

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
int read(){
    int f=1,x=0;char c=getchar();while(c<'0'||'9'<c){
    if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();return f*x;
}
#define MAXN 200000
#define mp make_pair
#define INF 2000000001
int n;//不为中点 为中点最大/次大转移 为根最大 
int f[MAXN+5][3],g[MAXN+5];
vector<pair<int,int> > G[MAXN+5];
void DFS1(int u,int fa){
    f[u][0]=0,f[u][1]=f[u][2]=-INF;for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++){
    int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;if(v==fa) continue;DFS1(v,u);int Mx=max(f[v][0],f[v][0]+f[v][1]+w);f[u][0]+=Mx;if(f[v][0]+w-Mx>f[u][1])f[u][2]=f[u][1],f[u][1]=f[v][0]+w-Mx;else if(f[v][0]+w-Mx>f[u][2])f[u][2]=f[v][0]+w-Mx;}return ;
}
int ans;
void DFS2(int u,int fa){
    ans=max(ans,f[u][0]);for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++){
    int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;if(v==fa) continue;int d=max(f[v][0],f[v][0]+f[v][1]+w),Mx;if(f[v][0]+w-d==f[u][1])Mx=max(f[u][0]-d,f[u][0]-d+f[u][2]+w);elseMx=max(f[u][0]-d,f[u][0]-d+f[u][1]+w);f[v][0]+=Mx;if(f[u][0]-d+w-Mx>f[v][1])f[v][2]=f[v][1],f[v][1]=f[u][0]-d+w-Mx;else if(f[u][0]-d+w-Mx>f[v][2])f[v][2]=f[u][0]-d+w-Mx;DFS2(v,u);}return ;
}
int main(){
    n=read();for(int i=1;i<n;i++){
    int u=read(),v=read(),w=read();G[u].push_back(mp(v,w)),G[v].push_back(mp(u,w));}DFS1(1,0);//for(int i=1;i<=n;i++)// printf("%d %d %d\n",f[i][0],f[i][1],f[i][2]);DFS2(1,0);printf("%d\n",ans);return 0;
}

思考

这种题换根时候容易被绕晕，可以用这种方式思考：
1.理清变量含义
2.去除 $v$ 对 $u$ 的贡献
3.尝试将 $u$ 改为 $v$ 的子树
4.分类讨论转移
注意状态转移时还要尽量让对于同一 $u$ 的状态转移互不影响