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Educational Codeforces Round 57 (Rated for Div. 2) F. Inversion Expectation(组合数学+期望)

热度:40   发布时间:2023-11-15 13:13:02.0

题目链接: http://codeforces.com/contest/1096/problem/F

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define debug puts("YES");
#define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++)
#define ll long long#define lrt int l,int r,int rt
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define root l,r,rt
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define pii pair<ll,ll>
#define mk(x,y) make_pair(x,y)
const int  maxn =2e5+5;
const int mod=998244353;
const int inv2=499122177;
ll powmod(ll x,ll y){ll t; for(t=1;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) t=t*x%mod; return t;}
ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}
int n,a[maxn],cnt1=0,tot=0;
int tmp[maxn],cnt=0;
///bit
int tree[maxn];
void add(int x,int v){for(;x<maxn;tree[x]+=v,x+=(x&-x));}
int sum(int x){int ret=0;for(;x>0;ret+=tree[x],x-=(x&-x));return ret;}
/*
题目大意:给定一个序列,里面有-1填充,
也有原本的几个数字,问满足这种性质的排列其逆序对个数期望值是多少(不考虑矛盾的排序序列)。一道组合数学题,先计算总体能产生的逆序对个数,
先是序列中原本填充好的数字产生的个数,但要乘上-1的个数的阶乘(ans1)
再其次就是-1位置填充的产生的逆序对个数,不难计算出对于长度为n
的有序序列其全排列的逆序对个数是:(n)(n-1)/2*(n!)。
具体计算过程是:考虑任意两个数,先是选两个,然后两个数的位置有(n)*(n-1)/2,
剩余长度排列是(n-2)!。再考虑-1和原本位置的数字产生的逆序对个数,假设我们得知了当前比a[i]大的且没有出现在序列中的数有x个,
前面出现的-1有y个,那么产生的逆序对个数是:x*y*((tot-1)!),tot是-1的总个数。时间复杂度:O(nlogn)。
*/
ll ans1=0,ans2=1,ans3=0;
ll fac[maxn];
int main(){fac[0]=1LL;rep(i,1,maxn) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;cin>>n;rep(i,0,n){cin>>a[i];if(a[i]!=-1) tmp[cnt++]=a[i];else tot++;}sort(tmp,tmp+cnt);rep(i,0,n){if(a[i]==-1) cnt1++,ans2=ans2*1LL*cnt1%mod;///else{ans1=( ans1 + 1LL*( sum(maxn-1)-sum(a[i]) ) )%mod;///统计原本的逆序对,最后需要乘上阶乘add(a[i],1);int tp=lower_bound(tmp,tmp+cnt,a[i])-tmp;ans3=( ans3+(a[i]-1-1LL*tp)*(tot-cnt1)%mod*fac[max(0,tot-1)]%mod )%mod;///累加-1和原本的序列产生的逆序对ans3=( ans3+(n+1LL*tp+1-cnt-a[i])*cnt1%mod*fac[max(0,tot-1)]%mod )%mod;}}ans2=ans2*cnt1%mod*(cnt1-1)%mod*inv2%mod;if(cnt1<=1) ans2=0LL;else ans2=ans2*inv2%mod;ans1=ans1*fac[cnt1]%mod;ans1=(ans1+ans2)%mod;ans1=(ans1+ans3)%mod;ans1=ans1*powmod(fac[cnt1],mod-2)%mod;cout<<ans1<<endl;return 0;
}

 

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