An Improved Differential Evolution Algorithm for Unconstrained Optimization Problems （用于无约束优化问题改进的差分进化算法 ）

1.算法背景及策略：

传统差分演化（DE）算法具有过早收敛的倾向。 本算法提出了一种基于动态变异算子和反对学习策略的改进型DE。 这些机制可以扩大搜索范围，有助于平衡DE的探索和开发。

2.算法步骤：

（1）初始化随机生成种群,执行经典DE算法中的变异，交叉，选择操作

（2）动态变异算子：

高斯分布和柯西分布是随机变量的主要分布函数。当n趋于无穷大时，t分布趋于高斯分布。当n为1时，t分布变化为Cauchy分布。 T分布和柯西分布将平衡算法中的探索和利用。

构建以下变异算子：

$$\begin{align*} & X_{j}^{i}(t)=X_{j}^{i}(t)+\displaystyle \frac{1}{k}\rho,\\ & X_{j}^{i}(t)=X_{j}^{i}(t)+\frac{1}{k}\eta,\\ k & =\displaystyle \frac{2}{d_{j}}+\frac{\sum_{i=1}^{NP}D(G(t)-X^{i}(t))}{NP} \end{align*}$$

其中$d_j$是第j维间隔的长度，$D（G（t）-X^i（t））$是全局最优位置和第i个个体位置的欧几里德距离。 $∑^{NP}_{i=1}D(G(t)?X^i(t))$表示群体聚集水平，显然变异算子是动态的，随机选择三个个体适应性较差，经过变异算子更新，可以保持种群多样性，深入发展搜索区域，避免陷入局部最优。

（3）反向学习：

反向学习（OBL）经常被应用于许多最优算法。 OBL的主要思想是计算和评估可行解及其相反方向解。 选择更好的解决方案进入下一代。

让$X^I=(x^i_1,x^i_2,?,x^i_{ND})$是搜索区域中的一个可行解，其中$x_j∈[a_j,b_j]$,则反向点可以定义如下

$$\begin{equation*} \bar{x}_{j}^{i}=a_{j} +b_{j}-x_{j}^{i}. \end{equation*}$$

让$X^i=(x^i_1,x^i_2,?,x^i_{ND})$是种群中的一个个体，$X^{i*}=(x^{i*}_1,x^{i*}_2,?,x^{i*}_{ND})$是这个个体的优化值，反向解定义如下:

$$\begin{equation*} x_{j}^{i^{\ast}}=k(da_{j}+db_{j})-x_{j}^{i^{\ast}}, \end{equation*}$$

k是随机数，$[da_j,db_j]$是第j维搜索区域的动态边界,$\begin{equation*} da_{j}=\displaystyle \min(x_{ij}),db_{j}=\max(x_{ij}). \end{equation*}$

如果反向解超过搜索区域：$\begin{equation*} x_{j}^{i}=rand(a_{j},b_{j}) \ \ if \ \ x_{j}^{i} < a_{j} \ \ or \ \ x_{j}^{i} > b_{j}, \end{equation*}$

（3）结论：1997年以来，提出了许多新的提出的DE算法。然而，其中大多数集中在选择适当的控制参数。 在本算法中提出了两种不同的方法来平衡DE算法的探索和利用。 动态变异算子和基于对立的学习与DE结合。实验执行效果比DE要好。