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快速幂详解——2017中国大学生程序设计竞赛 - 女生专场 Easy Summation

热度:47   发布时间:2023-10-27 07:57:32.0

Easy Summation

Time Limit : 2000/1000ms (Java/Other)   Memory Limit : 131072/131072K (Java/Other)
Total Submission(s) : 6   Accepted Submission(s) : 1

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Problem Description

You are encountered with a traditional problem concerning the sums of powers.
Given two integers n and k. Let f(i)=ik, please evaluate the sum f(1)+f(2)+...+f(n). The problem is simple as it looks, apart from the value of n in this question is quite large.
Can you figure the answer out? Since the answer may be too large, please output the answer modulo 109+7.

Input

The first line of the input contains an integer T(1T20), denoting the number of test cases.
Each of the following T lines contains two integers n(1n10000) and k(0k5).

Output

For each test case, print a single line containing an integer modulo 109+7.

Sample Input

3
2 5
4 2
4 1

Sample Output

33
30
10

Source

2017中国大学生程序设计竞赛 - 女生专场
思路:
刚刚看到这道题觉得就是用大数相加的方法,先分别求出f(1)...f(n),在把这些数加起来。最后调试完成后发现超时,后来在网上看到别人40行代码,才知道了快速幂,确实快很多,安利一下这种解法。
 
先上代码
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
long long pow2(long long a,int b)//快速幂 位运算版
{long long r=1,base=a;while(b){if(b&1) r=(r*base)%1000000007;base=(base*base)%1000000007;b>>=1;}return r;
}
int main()
{int  m;cin>>m;while(m--){int n,k;cin>>n>>k;long long sum=0;for(int i=1;i<=n;i++){sum+=pow2(i,k);sum=sum%1000000007;//1000000007}cout<<sum<<endl;}return 0;
}

快速幂的思想:

  首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:

  假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b==11时

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)
11的二进制是1011,11 = 2?×1 + 2?×0 + 2?×1 + 2?×1,因此,我们将a??转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) 
,看出来快的多了吧原来算11次,现在算三次,但是这三项貌似不好求的样子....不急,下面会有详细解释。
 
 
 
  由于是二进制,很自然地想到用位运算这个强大的工具: &  和 >>  
 
 
 
  &运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶,x&1==1为奇。
 
 
 
  >>运算比较单纯,二进制去掉最后一位,不多说了,先放代码再解释。
 
 
 
  
复制代码
 1 int poww(int a,int b){  2     int ans=1,base=a;  3     while(b!=0){  4         if(b&1!=0)  5           ans*=base;  6         base*=base;  7         b>>=1;  8   }  9     return ans; 10 }
复制代码

  代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。

  其中要理解base*=base这一步,看:::base*base==base^2,下一步再乘,就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊,再看上  面的例子,a??= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),这三项是不是完美解决了,,嗯,快速幂就是这样。

  顺便啰嗦一句,由于指数函数是爆炸增长的函数,所以很有可能会爆掉int的范围,根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。