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ACdream 1067:Triangles

热度:60   发布时间:2023-10-18 05:03:42.0

Problem Description

已知一个圆的圆周被N个点分成了N段等长圆弧,求任意取三个点,组成锐角三角形的个数。

Input

多组数据,每组数据一个N(N <= 1000000)

Output

对于每组数据,输出不同锐角三角形的个数。

Sample Input

3
4
5

Sample Output

1
0
5

  
分析:当3个点组成锐角三角形ABC时,圆心O一定在三角形内部,∠AOB , ∠BOC, ∠COA一定小于180度(∠AOB  +  ∠BOC + ∠COA = 360度)(1)当N为偶数时,用1, 2 .... k ,  k+1,  .... , 2k来标记N个点(2K = N).  固定一个点,  如点A = 点k, 那么2k点是肯定不能选的了,因为 k, 2k组成一条直径。所以剩下两个区间 [1, k-1],  [K+1, 2k-1].如果点B, 点C同处一个区间,那么ABC一定是一个钝角三角形,所以B,C一定不可处于同一区间。设点B = 点x, x 属于[1, k-2];   点C=点y,y 属于[k+1, 2k-1];在这样的情况下,y - x > k 才能使得ABC为锐角三角形  ==> (x, y)的取值有S =  0 + 1 + 2 + ... + (k - 2) = (k -1) * (k -2) /2  = (N/2 - 1) * (N / 2 - 2) / 2 ;有N个点,每个三角形被重复计算3次,所以一共有 S * N / 3种;(2)点N为奇数时, k = N / 2.  用0,  1 ... k ,  k + 1,  2k.固定点A = 点0,则过点A的直径把N个点分成[1, k],   [k+1, 2k]两个部分。和(1)同理,可以令  点B = 点x , x 属于[1, k],  点C = 点y,  y 属于[k+1, 2k];在这样的情况下,y - x <=  k 才能使得ABC为锐角三角形  ==> (x, y)的取值有S =  k + (k- 1) + ... + 1 = k  * (k +1)  /2  = (N/2) * (N / 2 + 1) / 2 ;有N个点,每个三角形被重复计算3次,所以一共有 S * N / 3种;综上:N 为偶数时,     ans = N *  (N/2 - 1) * (N / 2 - 2) / 6;N为奇数时,      ans = N * (N/2) * (N / 2 + 1) / 6;

  

  
   
[cpp] view plaincopy
  1. #include <stdio.h>  
  2. #include <string.h>  
  3. #include <algorithm>  
  4. using namespace std;  
  5. #define ll long long  
  6.    
  7. int main()  
  8. {  
  9.     ll n,k,ans;  
  10.     while(~scanf("%lld",&n))  
  11.     {  
  12.         if(n<3)  
  13.             ans = 0;  
  14.         else if(n%2)  
  15.             ans = (1+n/2)*(n/2)*n/6;  
  16.         else  
  17.             ans = (n/2-2)*(n/2-1)*n/6;  
  18.         printf("%lld\n",ans);  
  19.     }  
  20.    
  21.     return 0;  
  22. }  
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