【线性代数】Summary_综合

这里写目录标题

1.行列式
2.矩阵
3.向量
4.线性方程组
5.矩阵的特征值和特征向量
6.二次型

1.行列式

1.行列式按行（列）展开定理

(1) 设 $a_{ {ij}} )_{n \times n}$ ，则： $ai1Aj1+ai2Aj2+?+ainAjn={∣A∣,i=j0,i≠ja_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{ {in}}A_{ {jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$

或 $a1iA1j+a2iA2j+?+aniAnj={∣A∣,i=j0,i≠ja_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ {ni}}A_{ {nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$ 即 $AA?=A?A=∣A∣E,AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,$ 其中： $A?=(A11A12…A1nA21A22…A2n…………An1An2…Ann)=(Aji)=(Aij)TA^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{ {nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{ {ji}}) = {(A_{ {ij}})}^{T}$

$Dn=∣11…1x1x2…xn…………x1n?1x2n?1…xnn?1∣=∏1≤j<i≤n(xi?xj)D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

(2) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣=∣BA∣\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|$ ，但 $∣A±B∣=∣A∣±∣B∣\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$ 不一定成立。

(3) $∣kA∣=kn∣A∣\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$ , $A$ 为 $n$ 阶方阵。

(4) 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$ （若 $A$ 可逆）， $A^{*}| = |A|^{n - 1}$

$\geq 2$

(5) $∣AOOB∣=∣ACOB∣=∣AOCB∣=∣A∣∣B∣\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$
， $A, B$ 为方阵，但 $∣OAm×mBn×nO∣=(?1)mn∣A∣∣B∣\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{ {mn}}|A||B|$ 。

(6) 范德蒙行列式 $Dn=∣11…1x1x2…xn…………x1n?1x2n1…xnn?1∣=∏1≤j<i≤n(xi?xj)D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $λi(i=1,2?,n)\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值，则
$\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$

2.矩阵

矩阵： $\times n$ 个数 $a_{ {ij}}$ 排成 $m$ 行 $n$ 列的表格 $[a11a12?a1na21a22?a2n?????am1am2?amn]\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{ {mn}} \\ \end{bmatrix}$ 称为矩阵，简记为 $A$ ，或者 $(aij)m×n\left( a_{ {ij}} \right)_{m \times n}$ 。若 $m = n$ ，则称 $A$ 是 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设 $A = (a_{ {ij}}),B = (b_{ {ij}})$ 是两个 $\times n$ 矩阵，则 $\times n$ 矩阵 $C = c_{ {ij}}) = a_{ {ij}} + b_{ {ij}}$ 称为矩阵 $A$ 与 $B$ 的和，记为 $A + B = C$ 。

2.矩阵的数乘

设 $A = (a_{ {ij}})$ 是 $\times n$ 矩阵， $k$ 是一个常数，则 $\times n$ 矩阵 $ka_{ {ij}})$ 称为数 $k$ 与矩阵 $A$ 的数乘，记为 ${kA}$ 。

3.矩阵的乘法

设 $A = (a_{ {ij}})$ 是 $\times n$ 矩阵， $B = (b_{ {ij}})$ 是 $\times s$ 矩阵，那么 $\times s$ 矩阵 $C = (c_{ {ij}})$ ，其中 $cij=ai1b1j+ai2b2j+?+ainbnj=∑k=1naikbkjc_{ {ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ {in}}b_{ {nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{ {ik}}b_{ {kj}}}$ 称为 ${AB}$ 的乘积，记为 $C = A B$ 。

4. $AT\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$ 、 $A?1\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}$ 、 ${A}^{\mathbf{*}}$ 三者之间的关系

(1) $(AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A±B)T=AT±BT{(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $(A?1)?1=A,(AB)?1=B?1A?1,(kA)?1=1kA?1,\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$

但 $\pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$ 不一定成立。

(3) $(A?)?=∣A∣n?2A(n≥3)\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$ ， $(AB)?=B?A?,\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},$ $(kA)?=kn?1A?(n≥2)\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

但 $(A±B)?=A?±B?\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}$ 不一定成立。

(4) $(A?1)T=(AT)?1,(A?1)?=(AA?)?1,(A?)T=(AT)?{(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}$

5.有关 ${A}^{\mathbf{*}}$ 的结论

(1) $AA^{*} = A^{*}A = |A|E$

(2) $∣A?∣=∣A∣n?1(n≥2),(kA)?=kn?1A?,(A?)?=∣A∣n?2A(n≥3)|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{ {\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)$

(3) 若 $A$ 可逆，则 $A?=∣A∣A?1,(A?)?=1∣A∣AA^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A$

(4) 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则：

$r(A?)={n,r(A)=n1,r(A)=n?10,r(A)<n?1r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$

6.有关 $A?1\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$ 的结论

$A$ 可逆 $?AB=E;?∣A∣≠0;?r(A)=n;\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$?A\Leftrightarrow A$ 可以表示为初等矩阵的乘积； $?A;?Ax=0\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$ 。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩 $r (A)$ =行秩=列秩；

(2) $r(Am×n)≤min?(m,n);r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

(3) $\neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$ ；

(4) $\pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $\leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$ 特别若 $A B = O$
则： $\leq n$

(7) 若 $A^{- 1}$ 存在 $?r(AB)=r(B);\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若 $B^{- 1}$ 存在
$?r(AB)=r(A);\Rightarrow r(AB) = r(A);$

若 $r(Am×n)=n?r(AB)=r(B);r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若 $r(Am×s)=n?r(AB)=r(A)r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)$ 。

(8) $r(Am×s)=n?Ax=0r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解

8.分块求逆公式

$(AOOB)?1=(A?1OOB?1)\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ ； $(ACOB)?1=(A?1?A?1CB?1OB?1)\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ ；

$(AOCB)?1=(A?1O?B?1CA?1B?1)\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}$ ； $(OABO)?1=(OB?1A?1O)\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}$

这里 $A$ ， $B$ 均为可逆方阵。

3.向量

1.有关向量组的线性表示

(1) $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性相关 $?\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关， $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ， $β\beta$ 线性相关 $?β\Leftrightarrow \beta$ 可以由 $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 唯一线性表示。

(3) $β\beta$ 可以由 $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性表示
$?r(α1,α2,?,αs)=r(α1,α2,?,αs,β)\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ① $n$ 个 $n$ 维向量
$α1,α2?αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ 线性无关 $?∣[α1α2?αn]∣≠0\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$ ， $n$ 个 $n$ 维向量 $α1,α2?αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ 线性相关
$?∣[α1,α2,?,αn]∣=0\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$
。

② $n + 1$ 个 $n$ 维向量线性相关。

③ 若 $α1,α2?αS\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}$ 线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性相关 $?\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关， $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ， $β\beta$ 线性相关 $?β\Leftrightarrow\beta$ 可以由 $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 唯一线性表示。

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设 $r(Am×n)=rr(A_{m \times n}) =r$ ，则 $A$ 的秩 $r (A)$ 与 $A$ 的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若 $r(Am×n)=r=mr(A_{m \times n}) = r = m$ ，则 $A$ 的行向量组线性无关。

(2) 若 $r(Am×n)=r<mr(A_{m \times n}) = r < m$ ，则 $A$ 的行向量组线性相关。

(3) 若 $r(Am×n)=r=nr(A_{m \times n}) = r = n$ ，则 $A$ 的列向量组线性无关。

(4) 若 $r(Am×n)=r<nr(A_{m \times n}) = r < n$ ，则 $A$ 的列向量组线性相关。

5. $n\mathbf{n}$ 维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若 $α1,α2,?,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 与 $β1,β2,?,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 是向量空间 $V$ 的两组基，则基变换公式为：

$(β1,β2,?,βn)=(α1,α2,?,αn)[c11c12?c1nc21c22?c2n????cn1cn2?cnn]=(α1,α2,?,αn)C(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{ {nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C$

其中 $C$ 是可逆矩阵，称为由基 $α1,α2,?,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 到基 $β1,β2,?,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵。

6.坐标变换公式

若向量 $γ\gamma$ 在基 $α1,α2,?,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 与基 $β1,β2,?,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的坐标分别是
${(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}$ ，

$\left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $γ=x1α1+x2α2+?+xnαn=y1β1+y2β2+?+ynβn\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$ ，则向量坐标变换公式为 $X = C Y$ 或 $Y = C^{- 1}X$ ，其中 $C$ 是从基 $α1,α2,?,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 到基 $β1,β2,?,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵。

7.向量的内积

$(α,β)=a1b1+a2b2+?+anbn=αTβ=βTα(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$

8.Schmidt 正交化

若 $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关，则可构造 $β1,β2,?,βs\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$ 使其两两正交，且 $βi\beta_{i}$ 仅是 $α1,α2,?,αi\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$ 的线性组合 $1,2,\cdots,n)$ ，再把 $βi\beta_{i}$ 单位化，记 $γi=βi∣βi∣\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}$ ，则 $γ1,γ2,?,γi\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$ 是规范正交向量组。其中
$β1=α1\beta_{1} = \alpha_{1}$ ， $β2=α2?(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ ， $β3=α3?(α3,β1)(β1,β1)β1?(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，

…

$βs=αs?(αs,β1)(β1,β1)β1?(αs,β2)(β2,β2)β2???(αs,βs?1)(βs?1,βs?1)βs?1\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$

9.正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

4.线性方程组

1．克莱姆法则

线性方程组 ${a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2?????????an1x1+an2x2+?+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{ {nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}$ ，如果系数行列式 $\left| A \right| \neq 0$ ，则方程组有唯一解， $x1=D1D,x2=D2D,?,xn=DnDx_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}$ ，其中 $D_{j}$ 是把 $D$ 中第 $j$ 列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $?Ax=0\Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解。 $??b,Ax=b\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$ 总有唯一解，一般地， $r(Am×n)=n?Ax=0r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$ 只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设 $A$ 为 $\times n$ 矩阵，若 $r(Am×n)=mr(A_{m \times n}) = m$ ，则对 $A x = b$ 而言必有 $\vdots b) = m$ ，从而 $A x = b$ 有解。

(2) 设 $x1,x2,?xsx_{1},x_{2},\cdots x_{s}$ 为 $A x = b$ 的解，则 $k1x1+k2x2?+ksxsk_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}$ 当 $k1+k2+?+ks=1k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$ 时仍为 $A x = b$ 的解；但当 $k1+k2+?+ks=0k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$ 时，则为 $A x = 0$ 的解。特别 $x1+x22\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 为 $A x = b$ 的解； $2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$ 为 $A x = 0$ 的解。

(3) 非齐次线性方程组 ${Ax} = b$ 无解 $?r(A)+1=r(A?)?b\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$ 不能由 $A$ 的列向量 $α1,α2,?,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组 ${Ax} = 0$ 恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此 ${Ax}= 0$ 的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是 $n ? r (A)$ ，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) $η1,η2,?,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 是 ${Ax} = 0$ 的基础解系，即：

$η1,η2,?,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 是 ${Ax} = 0$ 的解；
$η1,η2,?,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 线性无关；
${Ax} = 0$ 的任一解都可以由 $η1,η2,?,ηt\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 线性表出.
$k1η1+k2η2+?+ktηtk_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$ 是 ${Ax} = 0$ 的通解，其中 $k1,k2,?,ktk_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ 是任意常数。

5.矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设 $λ\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，则 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 有一个特征值分别为
$b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$ 且对应特征向量相同（ $A^{T}$ 例外）。

(2)若 $λ1,λ2,?,λn\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ 为 $A$ 的 $n$ 个特征值，则 $∑i=1nλi=∑i=1naii,∏i=1nλi=∣A∣\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{ {ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|$ ,从而 $\neq 0 \Leftrightarrow A$ 没有特征值。

(3)设 $λ1,λ2,?,λs\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$ 为 $A$ 的 $s$ 个特征值，对应特征向量为 $α1,α2,?,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ，

若: $α=k1α1+k2α2+?+ksαs\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,

则: $Anα=k1Anα1+k2Anα2+?+ksAnαs=k1λ1nα1+k2λ2nα2+?ksλsnαsA^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若 $\sim B$ ，则

$AT?BT,A?1?B?1,,A??B?A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}$
$|B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{ {ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{ {ii}},r(A) = r(B)$
$∣λE?A∣=∣λE?B∣|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$ ，对 $?λ\forall\lambda$ 成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可对角化 $?\Leftrightarrow$ 对每个 $k_{i}$ 重根特征值 $λi\lambda_{i}$ ，有 $n?r(λiE?A)=kin-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 设 $A$ 可对角化，则由 $P?1AP=Λ,P^{- 1}{AP} = \Lambda,$ 有 $A = {PΛ}P^{-1}$ ，从而 $An=PΛnP?1A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

若 $\sim B,C \sim D$ ，则 $[AOOC]?[BOOD]\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}$ .
若 $\sim B$ ，则 $\sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|$ ，其中 $f (A)$ 为关于 $n$ 阶方阵 $A$ 的多项式。
若 $A$ 为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩( $A$ )

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设 $A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $B =P^{- 1}{AP}$ 成立，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $\sim B$ 。

(2)相似矩阵的性质：如果 $\sim B$ 则有：

$AT?BTA^{T} \sim B^{T}$
$A?1?B?1A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若 $A$ ， $B$ 均可逆）
$Ak?BkA^{k} \sim B^{k}$ （ $k$ 为正整数）
$∣λE?A∣=∣λE?B∣\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$ ，从而 $A, B$
有相同的特征值
$∣A∣=∣B∣\left| A \right| = \left| B \right|$ ，从而 $A, B$ 同时可逆或者不可逆
秩 $(A)=\left( A \right) =$ 秩 $(B),∣λE?A∣=∣λE?B∣\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|$ ， $A, B$ 不一定相似

6.二次型

1. $n\mathbf{n}$ 个变量 $x1,x2,?,xn\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$ 的二次齐次函数

$f(x1,x2,?,xn)=∑i=1n∑j=1naijxiyjf(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{ {ij}}x_{i}y_{j}}}$ ，其中 $aij=aji(i,j=1,2,?,n)a_{ {ij}} = a_{ {ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ ，称为 $n$ 元二次型，简称二次型. 若令 $\ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{ {nn}} \\\end{bmatrix}$ ,这二次型 $f$ 可改写成矩阵向量形式 $f =x^{T}{Ax}$ 。其中 $A$ 称为二次型矩阵，因为 $aij=aji(i,j=1,2,?,n)a_{ {ij}} =a_{ {ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ ，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵 $A$ 的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型 $\left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}$ 经过合同变换 $x = {Cy}$ 化为 $f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}$

$\sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$ 称为 $\leq n)$ 的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由 $r (A)$ 唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型 $f$ 都可经过合同变换化为规范形 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}$ ，其中 $r$ 为 $A$ 的秩， $p$ 为正惯性指数， $r ? p$ 为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设 $A$ 正定 $?kA(k>0),AT,A?1,A?\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 正定； $∣ A ∣ > 0$ , $A$ 可逆； $a_{ {ii}} > 0$ ，且 $A_{ {ii}}| > 0$

$A$ ， $B$ 正定 $?A+B\Rightarrow A +B$ 正定，但 ${AB}$ ， ${BA}$ 不一定正定

$A$ 正定 $?f(x)=xTAx>0,?x≠0\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$?A\Leftrightarrow A$ 的各阶顺序主子式全大于零

$?A\Leftrightarrow A$ 的所有特征值大于零

$?A\Leftrightarrow A$ 的正惯性指数为 $n$

$?\Leftrightarrow$ 存在可逆阵 $P$ 使 $A = P^{T}P$

$?\Leftrightarrow$ 存在正交矩阵 $Q$ ，使 $QTAQ=Q?1AQ=(λ1?λn),Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},$

其中 $λi>0,i=1,2,?,n.\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.$ 正定 $?kA(k>0),AT,A?1,A?\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 正定； $∣ A ∣ > 0, A$ 可逆； $a_{ {ii}} >0$ ，且 $A_{ {ii}}| > 0$ 。