PARAFAC-Based Channel Estimation for Intelligent Reflective Surface Assisted MIMO System Sim Note

PARAFAC-Based Channel Estimation for Intelligent Reflective Surface Assisted MIMO System Simulation Note

论文推导部分

参考paper[0] 文章属于思路新奇,但是推导部分相对简单,此处不作过多解析.会先提及前摇知识,再作思路的推进.

张量分解(tensor decomposition)

概念见参考paper[4]

主要思想为:

文章中,还结合参考paper[5](未细看,差不多是一本CPD在信号处理领域的使用参考手册),有分解(9-11)式的来源

大概思路

考虑MIMO单用户场景,无LOS径,基站和IRS中有控制器:

估计中,将一个符号周期分为K块,每个块中不调整IRS的策略(3),在同一块中,导频以T个时隙进行循环(4):

直推得到式(7):
$$\overline{\mathbf{Y}}[k]=\mathbf{G}{\mathbf{D}}_k(\mathbf{S}){\mathbf{Z}}^{\mathrm{T}},\mathbf{Z}?\mathbf{X}{\mathbf{H}}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{T\times N}$$
此时可以发现其满足张量分解的基本形式,根据PARAFAC decomsition即可得(9-11)式:
$$\begin{array}{l}{\overline{\mathbf{Y}}}_1=\mathbf{G}(\mathbf{S}?\mathbf{Z}{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{L\times TK}\\ {\overline{\mathbf{Y}}}_2=\mathbf{Z}(\mathbf{S}?\mathbf{G}{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{T\times LK}\\ {\overline{\mathbf{Y}}}_3=\mathbf{S}(\mathbf{Z}?\mathbf{G}{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{C}}^{K\times LT}\end{array}$$
注意这里(9-10)式是用来提出Algorithm2的,(11)式是用来推出closed form的,但实际上,这里没有给出这个张量分解的可行性分析…反倒是将分解误差在后面提及了.

后面的(12-15)式直推即可. (16-19)也一样

论文仿真笔记

cover: B417科研笔记

智能反射面代码复现：PARAFAC-Based Channel Estimation for Intelligent Reflective Surface Assisted MIMO System

Matlab代码实现智能反射面的信道仿真

MIMO系统的DFT码本

array_response

这个函数主要计算(阵列)天线增益

由于在IRS中是upa(Uniform Planar Array),所以在考虑信道仿真前需要考虑到阵列天线的响应,由于已经是方形设计,所以会有两个角度:方向角(azimuth angle),仰角(elevation angle).他们对天线的增益计算如下:

$$\begin{gathered} {\mathbf{a}}_{UPA}(?,\theta )=\frac{1}{\sqrt{N}}{\left[1,\dots ,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d(m\sin (?)\sin (\theta )+n\cos (\theta ))},\dots \\ \dots ,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }d((W?1)\sin (?))+(H?1)\cos (\theta ))}\right]}^T \end{gathered}$$

W和H代表了UPA共有W行，H列天线,d为天线间隔.这个函数主要就是计算这个upa的接收/发送增益,但实际上他发送端不一定是UPA,有可能是ULA(Uniform Linear Array):

对于共N个天线， 天线间隔为半波长($d=\lambda /2$)的阵列， 其响应向量可以表示为:
$${\mathbf{a}}_{\mathrm{U}\mathrm{L}\mathrm{A}}(?)=\frac{1}{\sqrt{N}}{\left[1,e^{j\pi \sin (?)},\dots ,e^{j\pi (N?1)\sin (?)}\right]}^T$$

generate_channel /generate_channel_LOS

接上,这个函数主要处理信道的增益计算,(在MIMO那篇中此函数是考虑了LOS的,这里为generate_channel_LOS)

对普通的MIMO信道来说,他的每一个子信道服从:
$$h_{i,j}=\sum _i{a}^i{e}^{j{\theta }_t}$$
信道增益的模 $|h_{i,j}|$服从瑞利分布，如果除了大量的散射体还有一个很强的直射路径，则信道增益的模 $|h_{i,j}|$服从莱斯分布。

而在毫米波信道中,此处的天线增益计算中,不管是ULA还是UPA,信道增益在天线处都服从:
$$H_{ij}=\sqrt{\frac{N_r?N_t}{L}}{a}_r{a}_t^T$$

其中$N_r$为发送端天线,$N_t$为发射端天线,L为路径总数. 为了凸显出LOS径和NLOS的区别,加上一个衰减因子$\alpha$,并以LOS径为1,NLOS服从高斯分布

alpha(1) = (randn(1) + 1j * randn(1)) / sqrt(2); % gain of the LoS
alpha(2:L) = 10^(-0.5)*(randn(1,L-1)+1i*randn(1,L-1))/sqrt(2);

所以现在信道增益(单用户/单散射簇)的总体表达式为:
$$H_{ij}=\sqrt{\frac{N_r?N_t}{L}}\sum _l^L{\alpha }_l{a}_r{a}_t^T$$
根据array_response中的描述,此时我们需要知道在T/R端的天线角度,此处有一个假设,由于基站到IRS和IRS到用户的距离足够远,导致信号在UPA的接收端的**到达角AoA (Angle of Arrival)和发射端的出发角AoD(Angle of Departure)**对不同的天线在同一径上是一致的.

所以上式中的信道增益具化为:

$$\mathbf{H}=\sqrt{\frac{N_t{N}_r}{L}}\sum _{l=1}^L{\alpha }_l{\mathbf{a}}_r\left({?}_l^r,{\theta }_l^r\right){\mathbf{a}}_t{\left({?}_l^t,{\theta }_l^t\right)}^H$$
至此就是需要在仿真中用到的仿真公式了.

但对于毫米波信道来说,其可以基于Saleh-Valenzuela模型描述的窄带聚集簇毫米波信道进行建模,即对不同散射簇有:

$$\mathbf{H}=\sqrt{\frac{N_t{N}_r}{N_{cl}{N}_{ray}}}\sum _{i=1}^{N_{cl}}\sum _{l=1}^{N_{ray}}{\alpha }_{il}{\mathbf{a}}_r\left({?}_{il}^r,{\theta }_{il}^r\right){\mathbf{a}}_t{\left({?}_{il}^t,{\theta }_{il}^t\right)}^H$$

gen_DFTmatrix

这个函数主要得出IRS的相位选择策略,在paper中可见于[17]即下文参考文献[2]:

We show that an optimal IRS activation patterns follow the rows of a the discrete Fourier transforms (DFT). Note that a DFT based training has been independently proposed in [11] but without optimality analysis. The proposed methods offers one order lower estimation variance compared to existing on/off methods.

所以可以找到其[11]中,发现是ZhangR组的工作,见[3],note:此文章尚未细看,为下一篇仿真任务

gen_tensor

由paper中(8)式计算出Y张量.具体原理见下论文解析部分

model1

由张量分解中,三个基本切片(slices)给出,见paper[4]->P11

khatri_pro

计算两个矩阵的Khatri-Rao积,中间用了一个kron函数指计算两个矩阵的Kronecker(克罗内克)积

BLAS

这里对应论文中的Algorithm 2:Bilinear alternating least squares:

其他函数和处理方法较为常见，不作赘述

结语

这篇文章仿真部分主要是参考B417科研笔记,换个说法就是,就是为了学学怎么仿真IRS才看的这篇paper.
不过也还好啦,万里之行始于足下

参考文献

blog:

智能反射面代码复现：PARAFAC-Based Channel Estimation for Intelligent Reflective Surface Assisted MIMO System

Matlab代码实现智能反射面的信道仿真

MIMO系统的DFT码本

毫米波通信中的信道模型-Maye&Rene BLOG

paper:

0. G. T. de Araújo and A. L. F. de Almeida, “PARAFAC-Based Channel Estimation for Intelligent Reflective Surface Assisted MIMO System,” arXiv:2001.06554 [eess], Jan. 2020, Accessed: Oct. 13, 2020. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/2001.06554.
1. Spatially sparse precoding in millimeter wave MIMO systems, IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 13, no. 3, pp. 1499–1513, Mar. 2014.
2. T. L. Jensen and E. De Carvalho, “An Optimal Channel Estimation Scheme for Intelligent Reflecting Surfaces based on a Minimum Variance Unbiased Estimator,” arXiv:1909.09440 [eess], Nov. 2019, Accessed: Oct. 16, 2020. [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1909.09440.
3. B. Zheng and R. Zhang, “Intelligent Reflecting Surface-Enhanced OFDM: Channel Estimation and Reflection Optimization,” IEEE Wireless Commun. Lett., vol. 9, no. 4, pp. 518–522, Apr. 2020, doi: 10.1109/LWC.2019.2961357.
4. T. G. Kolda and B. W. Bader, “Tensor Decompositions and Applications,” SIAM Rev., vol. 51, no. 3, pp. 455–500, Aug. 2009, doi: 10.1137/07070111X.
5. N. D. Sidiropoulos, L. De Lathauwer, X. Fu, K. Huang, E. E. Papalexakis, and C. Faloutsos, “Tensor Decomposition for Signal Processing and Machine Learning,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 65, no. 13, pp. 3551–3582, Jul. 2017, doi: 10.1109/TSP.2017.2690524.

Other Source:

Tamara G. Kolda: “Tensor Decomposition”

B站有搬运的,但是没有机翻字幕,有点难顶.

圣玛利亚理工大学Antenna Studies // 没看完,就看了lecture18

还有相关的矩阵论等参考书,不一一罗列.