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均匀分布

伯努利分布

二项分布

rbinom(n,size,prob)

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随机变量X(random variable)表示随机试验各种结果的实值单值函数。

描述一个随机变量，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要关心它取这些值的概率。因此，引入随机变量的分布函数概念。

对每个随机变量X和每个实数集合A，可以计算X取A中值的概率。所有这些概率的集合就是随机变量X的分布。

随机变量以及分布函数主要有两类：离散型分布和连续型分布。

• 离散型分布：当X只能取有限个不同值x1,x2,……Xk时，我们称随机变量X服从一个离散型分布。X称为离散型随机变量。比如用随机变量X代表抛一枚硬币的结果，则此时X是离散型随机变量。因为X只能取0或1（正面或背面）。
• 连续型分布：对实轴的任意子集A，随机变量X落在A中的概率是f在A上的积 分，那么我们说X服从连续型分布或者X是连续型随机变量。一般我们都是讨论X落入子集A的区间[a,b]的概率，则记为：

如图：

如果对整个曲线做积分，相当于求整个曲线和x轴围成的面积。所以结果是1。所以上式在图中，相当于求a,b区间出现的概率。 针对连续型分布，求一个点的概率是没有意义的（因为面积是0，即概率是0），所以要求一个 区间的概率。

常用的数据分布有如下几种：

• 常见的一元离散型分布： 整数型均匀分布 二项分布  泊松分布  几何分布  超几何分布
• 常见的一元连续型分布： 实数型均匀分布 正态分布(高斯分布） γ(伽玛)分布  指数分布  贝塔分布
• 多元离散型分布： 多项式分布
• 二元连续型分布： 二元正态分布
• 还有其他一些分布： weibull(韦伯)分布  F分布  T分布  β(贝塔)分布  χ?(卡方)分布  cauchy分布

其中，最常用和常见的有：正态分布、二项分布、指数分布

均匀分布

均匀分布是一种简单的概率分布，分为离散型均匀分布和连续型均匀分布。
离散型均匀分布指的是整数的均匀分布。设随机变量X可能取1,2,……n, 那么X的概率密度函数为： f(x)=1/n

连续型均匀分布指的是实数的均匀分布，在a~b区间上，随机变量可以取任意一点。 那么X的概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)     a≦x≦b。

注：在实际生成生活中，如果是均匀分布，一般都是连续型均匀分布。

伯努利分布

伯努利分布是一种离散分布,有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p(其中0<p<1)。0表示失败，出现的概率为q=1-p。即：若随机变量X所能取的实验结果只有两种结果，则随机变量X服从伯努利分布。 
伯努利分布最简单的实验是抛一枚（只一次）硬币出现的结果（正面或反面）。
伯努利分布概率函数：如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为： Pr(X=1)=p，Pr(X=0)=1-p
则X的概率函数可以写为：

二项分布

二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变， 则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

二项分布概率函数：二项分布(Binomial Distribution)，即重复n次的伯努利试验(Bernoulli Experiment)，用ξ表示随机试验的结果。如果事件发生的概率是p，则不发生的概率q=1-p，n次独立重复试验中发生k次的概率是：

其中，C(n,k)为：

rbinom(n,size,prob)

n是实验次数。prob为单点分布的成功的概率。size为随机数产生范围，从0开始取值。如果是1，则取值为0或1。

利用R语言模拟一次伯努利实验 （伯努利分布）

例如：抛一枚硬币，出现正面记为1，背面记为0，正面和背面出现的概率都为0.5。

> rbinom(1,1,0.5)
[1] 1

• 第一个1表示实验一次
• 第二个1表示随便变量X的取值结果，如果写1，表示去0或1两种情况
• 第三是概率，表示出现1的概率

实验如图：

画出伯努利分布 （实验一次）的图：

> result=rbinom(1,1,0.5);result
[1] 1
> plot(result)

代码如图：

画出10次伯努利实验的图：

> result=rbinom(10,1,0.5);result[1] 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1
> plot(result)

画出1000次伯努利实验的图，并以线图模拟出实验结果的概率密度：

> result=rbinom(1000,1,0.5);result
> plot(result)

> lines(result)

实验如图：

做1000次伯努利实验，并调整概率为0.2，并模拟出概率密度图来观察结果：

> result=rbinom(1000,1,0.2);result
> plot(result)

> lines(result)

实验如图：