leetcode 338 Counting Bits 详细解答

leetcode 338 Counting Bits 详细解答

以例子说明：

Index :      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
bin nums : 0 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2  3    2   3   3   4   1   2

解法1
这里极其容易通过观察得出:

$$f(i)=?\begin{array}{ll}f(i?2)+1& 2<=i<=3\\ f(i?4)+1& 4<=i<=7\\ f(i?8)+1& 8<=i<=15\end{array}$$

上述问题相当于是个动态规划问题，如果表示成一个通项，即是：

$$f(i)=f(i?2^{int(lo{g}_{2}i)})+1$$

代码如下：



解法2
在解法1中，时间复杂度是O(N)，但因为到要做指数运算和对数运算，所以执行的速度会慢很多。

改进
这里通过设置一个offset来进行改进。通过观察：

$$f(2,...,3)=f(0,...,1)+1$$
$$f(4,...,7)=f(0,...,3)+1$$
$$f(8,...15)=f(0,...,7)+1$$
$$.$$
$$.$$

代码如下：

解法3
从二进制的角度来看：

如果 i 是偶数，向右移1位，那么二进制中1的个数还是不变
如果 i 是奇数，向右移1位，那么二进制中1的个数减少了以为
所以状态转移方程:
$$f(i)=f(i>>1)+(i\&1)$$

解释：后面的括号必须要加，因为加法的优先级（+）比与（&）要高

最后代码如下：