(文末源码)差分进化(Differential Evolution，DE)

获取更多资讯，赶快关注公众号(名称：智能制造与智能调度，公众号：deeprlscheduler)吧！

1、思想

DE是由Rainer Storn 和 Kenneth Price于1995年提出的一种比较经典的进化算法，是一种新型并行直接搜索算法，每一代G中都利用NP个参数向量（个体）作为种群，在优化过程中NP是保持不变的。如果没有掌握一些系统的先验知识，通常初始种群是随机选择的，一般来说，除非另有说明，否则将对所有随机决策假定一个均匀的概率分布，在得到初步解后，通常通过在名义解${\underline{x}}_{\text{nom },0}$上加上正太分布的随机偏差来生成初始种群。DE背后的关键思想是一种生成试验参数向量的新方案，其将两个种群个体的差向量加权后再与第三个成员相加，然后就得到了新的参数向量。如果得到的向量的目标函数值低于（最小化问题）种群中的个体，则用新生成的向量替换与之比较的向量。此外，还对每一代G中的最优参数向量${\underline{\mathrm{X}}}_{\text{best },\mathrm{G}}$进行评估，以追踪最小化进程。

从种群中提取距离和方向信息，产生随机偏差结果，该自适应方案具有良好的收敛性能。下面介绍两种最具潜力的DE变体。

2、方案DE1

变异

第一种DE变体的工作原理如下：对于每一个${\underline{x}}_{i,G},i=0,1,2,\dots ,NP?1$，根据下式生成试验向量：
$$\underline{\mathrm{v}}={\underline{\mathrm{x}}}_{{\mathrm{r}}_1,\mathrm{G}}+\mathrm{F}?\left({\underline{\mathrm{x}}}_{{\mathrm{r}}_2,\mathrm{G}}?{\underline{\mathrm{x}}}_{{\mathrm{r}}_3,\mathrm{G}}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中${\mathrm{r}}_1,{\mathrm{r}}_2,{\mathrm{r}}_3\in [0,\mathrm{N}\mathrm{P}?1]$，均为整数且互不相同，$F>0$。这一步相当于变异操作。

${\mathrm{r}}_1,{\mathrm{r}}_2,{\mathrm{r}}_3$为从$[0,NP?1]$中随机选择的整数，之所以是$NP?1$，是因为这里所以是从0开始的，所以最后一个个体的索引是$NP?1$,$F$为实值常数因子，控制差分变化$\left({\underline{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{r}}_2,\mathbf{G}}?{\underline{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{r}}_3,\mathbf{G}}\right)$的放大率。图1以一个二维示例说明了不同向量再DE1中的作用。

交叉

为了增加参数向量的多样性，构造如下向量：

$$\underline{\mathrm{u}}={\left({\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2,\dots ,{\mathrm{u}}_{\mathrm{D}}\right)}^{\mathrm{T}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$u_j=\{\begin{array}{ll}{v}_j& \text{ for }j=?n{?}_D,?n+1{?}_D,\dots ,?n+L?1{?}_D\\ {\left({\underline{x}}_{i,G}\right)}_j& \text{ otherwise }\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中尖括号$?{?}_D$表示模为$D$的模函数。

式(3)说明$\underline{\mathrm{u}}$中某一向量元素序列等于$\underline{\mathrm{v}}$中的元素，而$\underline{\mathrm{u}}$中的其他元素使用${\underline{x}}_{i,G}$中的原始值。为这种变异选择一组参数的过程类似于进化理论中交叉。图2解释了这一点，其中D=7，n=2,L=3。D为问题维度，起始索引$n$式从$[0,D?1]$内随机选择的整数，$L$以交叉概率$Cr$从$[0,D?1]$内随机选择,$L$按以下方式确定，$Cr$作用同$F$，用于控制DE。对于每一个试验向量，都要随机生成新的$n$和$L$。
L=0;DO{L=L+1;}WHILE ((rand(0,1)≤Cr)AND(L≤D))\begin{aligned} L &=0 ; \mathrm{DO} \\ &\{\\ L &=L+1 ; \\ &\} \text { WHILE }((r a n d(0,1) \leq C r) \mathrm{AND}(L \leq D)) \end{aligned} LL?=0;DO{ =L+1;} WHILE ((rand(0,1)≤Cr)AND(L≤D))?

所以从每个元素的角度就看，则可以得到以下公式：

$$u_{j,i,G}=\{\begin{array}{ll}{v}_{j,i,G}& \text{ if }\left({\text{rand}}_{i,j}[0,1]\le \text{Cr or }j=j_{\text{rand}}\right)\\ x_{j,i,G}& \text{ otherwise }\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中${\text{rand}}_{i,j}[0,1]$为均匀分布随机数，该值需要在第$i$个参数向量的每个维度上都重新调用，$j_{\text{rand}}\in [1,2,...,D]$为随机选择的索引，以保证$u$中至少有一个元素取自$v$，对于每一代中的米格向量，只需要实例化此值一次。

选择

为了保证种群大小不变，这一步叫做“选择”，以确定试验向量或目标向量是否存活到下一代，即
$$\begin{array}{rlr}{\underline{\mathrm{x}}}_{i,G+1}& =\underline{\mathrm{u}}& \text{ if }f\left(\underline{\mathrm{u}}\right)\le f\left({\underline{\mathrm{x}}}_{i,G}\right)\\ & ={\underline{\mathrm{x}}}_{i,G}& \text{ if }f\left(\underline{\mathrm{u}}\right)>f\left({\underline{\mathrm{x}}}_{i,G}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中$f()$为待最小化的目标函数，因此新的试验向量产生了相等或更小的目标函数，则替换掉对应的目标向量，否则就保留目标向量至下一代。

算法伪代码

3、方案DE2

DE2和DE1思想基本一致，只不过在变异时稍有不同：

$$\underline{\mathrm{v}}={\underline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{i},\mathrm{G}}+\lambda ?\left({\underline{\mathrm{x}}}_{\text{best },\mathrm{G}}?{\underline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{i},\mathrm{G}}\right)+\mathrm{F}?\left({\underline{\mathrm{x}}}_{{\mathrm{r}}_2,\mathrm{G}}?{\underline{\mathrm{x}}}_{{\mathrm{r}}_3,\mathrm{G}}\right)\text{\hspace{1em}(6)}$$
(6)中引入了一个额外的控制参数$\lambda$，其思想是提供一种通过结合当前最优向量${\underline{\mathrm{x}}}_{\text{best }}$的方式，来增强该方案的贪婪性。图4说明了DE2的向量生成过程。

4、 源代码

关注公众号后，回复“差分进化”或“DE”获取Matlab源码和Java源码链接。