论文笔记：自然图像的卷积去模糊Convolutional Deblurring for Natural Imaging

前言

本文提出了一种新的图像去模糊方法，采用一次卷积滤波的形式，可以直接对自然模糊的图像进行复原，将一个反卷积核作为FIR偶导数滤波器的线性组合，这可以直接与模糊的输入图像相结合，以促进与光学模糊点扩散函数（PFS）的频率下降。

本文还提出了一种盲方法来估计两个高斯和拉普拉斯模型的PFS统计量，这两个模型在组多图像传递中很常见。并且设计了完整的实验来测试和验证方法的有效性，使用了2054个自然模糊图像、六个成像应用程序和七种先进的反卷积方法。

知识与现有问题

模糊原理

许多模糊是由于图像采集过程中的光学配置不足造成的，一束光线通过光学设备后会扩散到一个图像域内而不是汇集到一个图像点，这种现象称为点扩散（PSF），相应的观测模型通常由线性卷积表示：

其中fB是模糊图像，fL是潜在锐化图像（需要恢复的图像），hPSF是相关联的PSF内核，η是噪声。
当PSF给定时，成为非盲恢复，否则成为盲恢复。

本文将图像反卷积问题归结为一次卷积滤波问题，重点研究了如何正确矫正PSF中的下降频率，主要分为两个步骤：
首先通过对傅里叶域模糊图像的尺度空间分析，推断出先验PSF模型，在假设自然图像的频率下降下，我们将高斯和拉普拉斯两种模型下的PSF统计量盲目估计为广义高斯分布的变体。
第二步是通过在频域中拟合一系列多项式，将其等价表示为FIR导数滤波器的线性组合，给出了解模糊逆PSF的闭形解。

相关工作

本文中总结了七类图像反卷积方法






1.统计先验。通过极大后验估计，用公式将底层图像表示为模糊图像的条件概率
2.tikhonov正则化。效率高，但会出现振铃现象。
等

现有问题

速度与精度
高速恢复往往使用非迭代算法，由FFT加速，但会出现振铃效应且丢失精度。CNN等模型受自然图像模糊建模的限制。

解决方法

本文提出了一种新的PSF去模糊算法，通过频率多项式近似的方法来矫正高频衰减，用一次卷积滤波器的形式在空间域构造了用于反PSF去模糊的对偶表示，在空间域定义了双重滤波表示，从而避免了在频域处理模糊图像。主要想法是通过在对偶空间域中定义两个单独的卷积滤波器来解耦去噪和模糊矫正。

逆反卷积核设计

上文中的逆滤波器hPSF(x)-1定义为逆PSF响应的逆傅里叶变换
但直接计算逆傅里叶变换将引入Gibbs伪影，为了避免这种情况，本文定义了傅里叶域和空间域的对偶表示，该方法使用一系列频率多项式来逼近傅里叶域的逆PSF响应。

PSF对称性确保了逆响应是一个偶函数，因此只用考虑偶数多项式的逼近。
空间域上频率多项式的对偶表示等价于导数算子的线性组合，因此，逆滤波器的对偶表示可以用

连续导数算子可以用FIR卷积滤波器进行数值逼近，则上式可以改写为

二维去模糊方法

在许多光学成像系统中，PSF模糊被认为是旋转对称的，模糊算子在任意旋转角度下是相同的，但我们假设模糊算子独立应用于两个维度，所以观测模型公式可以改写为：

在实验中用上述公式进行图像模糊。
利用上一节中的方法，设计双向去模糊核，并应用于模糊图像重建。

而对于自然图像，模糊核的能级通常是未知的，因此我们设置一个调谐参数γ∈[0,1]，来控制反卷积程度。

实验中用上述公式进行去模糊。


其中，▽DfB(x,y)给出重建图像的边缘，Dxy=Dx*Dy独立作用于水平和垂直方向的交叉反卷积算子。

图中给出了原始图像、模糊图像与去模糊图像。