【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )

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一、 一阶谓词逻辑公式

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命题公式 : 基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果 $A$ 是命题公式 , 则 $(?A)$ 也是命题公式 ;

③ 如果 $A,B$ 是命题公式 , 则 $(A\wedge B),(A\vee B),(A\to B),(A?B)$ 也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

一阶谓词逻辑公式 : 在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :

如果 $A$ 是公式 , 则 $?xA$ 和 $?xA$ 也是公式

一阶谓词逻辑公式相关概念 : 以 $?xA$ , $?xA$ 公式为例 ;

指导变元 : $?,?$ 量词后面的 $x$ 称为 指导变元

辖域 : $A$ 称为 对应量词的辖域 ;

约束出现 : 在 $?x$ , $?x$ 辖域 $A$ 中 , $x$ 出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;

自由出现 : 辖域 $A$ 中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;

二、 一阶谓词逻辑公式 示例

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一阶谓词逻辑公式 :

$?x(F(x)\to ?y(G(y)\wedge H(x,y,z)))$

公式解读 : 对于 所有满足 $F$ 性质的 $x$ , 都 存在满足 $G$ 性质的对象 $y$ , 使得 $x,y,z$ 满足关系 $H$ ;

$?x$ 的 辖域 是 $(F(x)\to ?y(G(y)\wedge H(x,y,z)))$

$?y$ 的 辖域 是 $(G(y)\wedge H(x,y,z)))$

$x,y$ 在量词后面 , 是 指导变元 , 是 约束出现 的变元 ;

$z$ 没有在量词后面 , 是 自由出现 的变元 ;

指导变元 类似于程序中预先定义的 变量/参数 , 自由出现 的变元 相当于程序中的 临时变量 ,