【论文02】信道不确定性下衰落信道中的隐蔽通信《Covert Communication in Fading Channels under Channel Uncertainty》

前记：这篇也是比较经典的一个论文，讲的是信道不确定下的隐蔽通信问题，虽然文章很短（只有5页），但是行文逻辑清晰，推导严密，而且语言易懂，也许作者是母语非英语的缘故吧。但是读一些国外大牛的论文就会感觉很生涩，仿佛融入不了他们的想法空间哈哈。

论文题目： Covert Communication in Fading Channels under Channel Uncertainty
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1. 系统模型

? ? 本文考虑了一个新的隐蔽通信场景，有四个设备 Alice, Bob, Willie 和 Carol.

图1 隐蔽通信系统模型图

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模型里的发送者 Alice 要给两个设备 Bob 和 Carol 传输信息，其中 Carol 是合法用户，Bob 是隐蔽用户。Willie 的目标是判断 Alice 是否给 Bob 传输了信息，这里 Carol 的作用相当于 Alice 对 Willie 产生一个干扰，以模糊其检测的正确性，达到隐蔽的效果。

1.1 信道模型

? ? 图中可以发现一共有三条传输链路，信道衰落系数可记为 $h_{ak}$, 这里的 $k$ 可以是 $b$ (Bob), $c$ (Carol) 或 $w$ (Willie). $h_{ak}$ 服从标准的循环对称复高斯分布 (Circularly Symmetric Complex Gaussian distribution), 即 $h_{ak} \sim \mathcal{CN}(0,1)$. 本文考虑了块衰落信道，因此衰落系数在一个块中保持不变，并独立地从一个块变化到另一个块。因此可以以其中一个块为研究目标，在用户 $k$ 处接受到的信号向量为

$\boldsymbol{y}_{k}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{h_{a k} \sqrt{P_{a c}} \boldsymbol{x}_{c}}{d_{a k}^{\alpha / 2}}+\frac{h_{a k} \sqrt{P_{a b}} \boldsymbol{x}_{b}}{d_{a k}^{\alpha / 2}}+\boldsymbol{v}_{k}, & \text { if } H_{1} \text { is true } \\ \frac{h_{a k} \sqrt{P_{a c}} \boldsymbol{x}_{c}}{d_{a k}^{\alpha / 2}}+\boldsymbol{v}_{k}, & \text { if } H_{0} \text { is true } \end{array}\right.$

其中 $\boldsymbol{v}_{k} \sim \mathcal{CN}(\boldsymbol{0}, \sigma_k^2 \boldsymbol{I}_n)$ 代表用户 $k$ 处的噪声向量

? ? 本文考虑了信道的不确定性，具体做法是把信道系数 $h_{ak}$ 分为两部分，已知的和未知的

$h_{ak} = \hat{h}_{ak} + \tilde{h}_{ak},$

$\hat{h}_{ak}$ 是已知部分， $\tilde{h}_{ak}$ 是未知部分。这两个随机变量都服从 CSCG 分布，其中未知部分的方差记为 $\beta_k = \mathbb{E}[| \tilde{h}_{ak} |^2], 0 \le \beta_k \le 1$

2. Willie 处的检测策略

? ? Willie 的目标是优化其检测的阈值，使总错误概率最小（虚警概率 + 漏检概率）
$\min_{\lambda} \quad \mathbb{P}_{FA} + \mathbb{P}_{MD}$

根据信道未知部分的概率分布， $\mathbb{P}_{FA}$ 和 $\mathbb{P}_{MD}$ 可以计算为

$\begin{aligned} \mathbb{P}_{F A} &=\mathbb{P}\left[\left(\sigma_{w}^{2}+\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{0}+\left|\tilde{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{0}\right)>\lambda\right] \\ &=\mathbb{P}\left[\left|\tilde{h}_{a w}\right|^{2}>\frac{\lambda-\sigma_{w}^{2}-\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{0}}{\zeta_{0}}\right] \\ &=\left\{\begin{array}{ll} \exp \left(\frac{\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{0}+\sigma_{w}^{2}-\lambda}{\zeta_{0} \beta_{w}}\right), & \text { if } \frac{\lambda-\sigma_{w}^{2}-\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{0}}{\zeta_{0}} \geq 0 \\ 1, & \text { otherwise } \end{array}\right. \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbb{P}_{MD} &=\mathbb{P}\left[\left(\sigma_{w}^{2}+\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{1}+\left|\tilde{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{1}\right)<\lambda\right] \\ &=\mathbb{P}\left[\left|\tilde{h}_{a w}\right|^{2}<\frac{\lambda-\sigma_{w}^{2}-\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{1}}{\zeta_{1}}\right] \\ &=\left\{\begin{array}{ll} 1 -\exp \left(\frac{\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{1}+\sigma_{w}^{2}-\lambda}{\zeta_{1} \beta_{w}}\right), & \text { if } \frac{\lambda-\sigma_{w}^{2}-\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2} \zeta_{1}}{\zeta_{1}} \geq 0 \\ 0, & \text { otherwise } \end{array}\right. \end{aligned}$

那么 $\lambda$ 的取值可以分为三种可能，可以在坐标轴上表示，如下图

图2 阈值坐标轴

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这三种情况可分别讨论，可以找到最优的阈值以最小化错误概率，详细推导过程可参考原文。

3. 通信系统的隐蔽性能

3.1 平均检测错误概率

? ? 首先从 Alice 的角度推导出 Willie 的平均检测错误概率，以此来量化隐蔽性能，隐蔽性能一般是由平均检测错误概率大于 $1- \epsilon$ 约束，即

$\overline{\mathbb{P}}_{E}^{w}=\mathbb{E}_{\left|\hat{h}_{a w}\right|^{2}}\left[\mathbb{P}_{F A}+\mathbb{P}_{M D}\right] \ge 1- \epsilon$

3.2 中断概率

? ? 除此之外，由于信道的不确定性，在信息传输的过程中可能会发生中断，若信道容量小于额定的速率，则产生中断，中断概率可以表示为

$\begin{aligned} \delta_{c}\left(H_{1}\right) &=\mathbb{P}\left[\log _{2}\left(1+\operatorname{SNR}_{H_{1}}^{c}\right)<R_{c}\right] \\ &=\mathbb{P}\left[\frac{\left|\hat{h}_{a c}\right|^{2} P_{a c}}{\left|\hat{h}_{a c}\right|^{2} P_{a b}+\left|\tilde{h}_{a c}\right|^{2}\left(P_{a c}+P_{a b}\right)+d_{a c}^{\alpha} \sigma_{c}^{2}}<\Delta_{c}\right] \\ &=\mathbb{P}\left[\left|\hat{h}_{a c}\right|^{2}<\frac{\Delta_{c}\left[\left|\tilde{h}_{a c}\right|^{2}\left(P_{a c}+P_{a b}\right)+d_{a c}^{\alpha} \sigma_{c}^{2}\right]}{P_{a c}-P_{a b} \Delta_{c}}\right] \end{aligned}$

这个也是需要满足的约束，根据该约束可以得到额定速度值的可行域，速率的值要适当，不能设定的太大，否则通信会发生中断。