Bresenham快速画直线算法(中文翻译+注释)

原文：https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/lines/bresenh.html

基本Bresenham算法

考虑在光栅网格上绘制一条直线，这条直线的斜率是 $0\leq m \leq 1$。

斜率定义：假设直线起点是(x1, y1)，终点是(x2, y2)，则斜率=(y2-y1)/(x2-x1)。

如果我们进一步限制该绘制程序，使其在绘制时 x 值不断递增，那么很明显，在 (x, y) 处绘制一个点后，直线下一个点的位置范围非常有限：

• 可以是 (x+1, y)，
• 或者是 (x+1, y+1)。

所以，在平面的第一个八分之一区域画线，变成了每一步进行一次二选一的问题。
我们可以画出绘图程序在绘制 (x, y) 时发生的情况。

在绘制 (x, y) 时，通常情况下，直线上实际的数学点和像素网格不是一一对应的，绘制的点会有误差，绘制程序需要在绘制位置和屏幕实际分辨率之间做出折中。所以我们把每个 y 坐标和一个误差值 $\epsilon$ 联系起来，y的实际值应该是 $y + \epsilon$。此误差值范围为 -0.5 到 +0.5。

从 x 移动到 x+1 时，让 y 坐标的值增加一个等于直线斜率 m 的量，如果这个新值与 y 之间的差小于 0.5，我们将绘制 (x+1, y)，否则绘制 (x+1, y+1)。很明显，通过这样做，可以将数学线段和实际绘制线段之间的总误差降到最小。

把这个新点产生的误差写回到 $\epsilon$，就可以在 x+2 处对下一个点重复整个过程。

新的误差值可以采用两个可能值中的一个，具体取决于绘制的新点。如果选择（x+1，y），新的误差值是：
$\epsilon_{new}$ <— $(y+\epsilon+m)-y$
否则是：
$\epsilon_{new}$ <— $(y+\epsilon+m)-(y+1)$

这种方法通过误差变量 $\epsilon$ 来控制绘图，使DDA算法避免了舍入操作。

DDA的全称是Digital Differential Analyzer，即数值微分算法，是一种最简单的画直线算法。

$\epsilon$ <— 0，y <— $y_1$
For $x$ <— $x_1$ to $x_2$ do
Plot point at $(x, y)$
If $(\epsilon+m<0.5)$
$\epsilon$ <— $\epsilon+m$
Else
$y$ <— $y+1$， $\epsilon$ <— $\epsilon+m-1$
EndIf
EndFor
这里使用了浮点值。但是，如果我们将绘图测试的两边乘以 $\Delta{x}$，然后再乘以2，会发生什么情况：
$\epsilon+m<0.5$
$\epsilon+\Delta{y}/\Delta{x}<0.5$
$2\epsilon\Delta{x}+2\Delta{y}<\Delta{x}$
这个不等式中的所有量现在都是整数。
用 $\epsilon'$ 代替 $\epsilon\Delta{x}$，变成：
$2(\epsilon'+\Delta{y})<\Delta{x}$
到这为止，通过整数计算，就能决定绘制哪个点了。

上面伪码中误差值的更新规则也可以用 KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 9: \epsilon^?' 表示，浮点数版本如下：
$\epsilon$ <— $\epsilon+m$
$\epsilon$ <— $\epsilon+m-1$
两边都乘以 $\Delta{x}$：
$\epsilon\Delta{x}$ <— $\epsilon\Delta{x}+\Delta{y}$
$\epsilon\Delta{x}$ <— $\epsilon\Delta{x}+\Delta{y}-\Delta{x}$
转换成 $\epsilon'$ 形式：
$\epsilon'$ <— $\epsilon'+\Delta{y}$
$\epsilon'$ <— $\epsilon'+\Delta{y}-\Delta{x}$

最后，使用这个新的误差值 $\epsilon'$，结合上面的变换过程，可以得到Bresenham的纯整数画线算法：
$\epsilon'$ <— $0$， $y$ <— $y_1$
For $x$ <— $x_1$ to $x_2$ do
Plot point at ( $x$, $y$)
If $(2(\epsilon'+\Delta{y})<\Delta{x})$
$\epsilon'$ <— $\epsilon'+\Delta{y}$
Else
$y$ <— $y+1$， $\epsilon'$ <— $\epsilon'+\Delta{y}-\Delta{x}$
EndIf
EndFor

• 仅整数-因此高效（快速）。
• 乘2可以用左移实现。
• 此版本仅限于第一个八分之一平面，斜率： $0\leq m \leq 1$。

以下是这个算法的C++实现：

void linev6(Screen & s,unsigned x1, unsigned y1,unsigned x2, unsigned y2,unsigned char colour)
{int dx = x2 - x1,dy = y2 - y1,y = y1,eps = 0;for (int x = x1; x <= x2; x++ ) {s.Plot(x, y, colour);eps += dy;if ((eps << 1) >= dx) {y++; eps -= dx;}}
}

这是一个全整数函数，使用左移位进行乘法，并通过巧妙地使用eps变量来消除冗余操作。

不过，这个Bresenham算法的实现还不完整，它没有检查参数的有效性。而且，实际的实现不仅仅只适用于斜率在第一个八分之一平面的直线，而是应该能处理任意斜率的直线。