2020牛客暑期多校03 D - Points Construction Problem

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2020牛客暑期多校03 D - Points Construction Problem

题意

无限大的二维平面上，所有整数点（横纵坐标都是整数的点）初始都为白色。给定 $n,m$，要求将其中 $n$ 个点染成黑色，使得满足以下条件的点对 $((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ 恰有 $m$ 组：

• 两点颜色不同；
• 两点相邻，即 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|==1$；

只需找出任意一种染黑方案并输出 Yes 以及所选 $n$ 个染黑点的坐标 $(x_i,y_i)$，或者输出 No 表示答案不存在。

$1\leq n\leq 50; 1\leq m\leq 200; x_i,y_i\in[-10^9,10^9]$。

题解

如下图，将每个整数点视为一块正方形，相邻整数点对应的正方形相接，正方形边长为 $1$，（答案中）黑点对应正方形染成深色（蓝）、白点对应正方形染成浅色（黄）。那么， $n$ 个染黑的整数点就对应 $n$ 个深色正方形、 $m$ 组题述的点对就对应 $m$ 条深浅相交处的边，再进一步说，图中深色部分面积为 $n$、周长为 $m$。

因此问题转化为，在无限大的浅色网格平面中染深一些正方形，使深色部分面积为 $n$、周长为 $m$。

$m$ 为奇数时答案不存在。因为从任意一行从左向右穿过，都会反复进入、离开深色块，从任意一列从上向下穿过同理，因此周长 $m$ 必为偶数。

下面我们来研究，给定周长 $m$，我们最多、最少可以染多大面积 $n$。

首先要认识到，对于一个

• 连通的、
• 横坐标跨度为 $x$ 的（即，被染色的正方形当中的最小横坐标 $x_{\min}$ 与最大横坐标 $x_{\max}$ 之差 $x_{\max}-x_{\min}+1$）、
• 纵坐标跨度为 $y$ 的（定义同理）
• “凸”多边形，

我们可以使其膨胀或收缩而改变面积，但只要变化过程中其保持上述四性质不变，其周长不会变！这是因为，膨胀和收缩的操作可以视为周长边发生平移。如下图（ $x=5,y=5$），左侧经过膨胀变为右侧而周长不变：

换句话说，此时周长只与横坐标、纵坐标的跨度有关，或者说只与染色块撑起的矩形区域有关。

上述 “凸” 多边形打了双引号，并不是指通常意义上的凸多边形，只要不存在某个完全凹进去的、三面环绕的 “港湾” 区域就可。如果收缩过程中出现了上述港湾块，周长就会多出至少两条边，如下图：

**给定周长，最少可以染多大面积？**经过极限的收缩，如果要撑起一个横坐标跨度为 $x$、纵坐标跨度为 $y$ 的区域（周长为 $2(x+y)$），染色面积最小可降至 $\max(x,y)$，或者说，最少只需染 $\max(x,y)$ 个正方形即可撑起一个横坐标跨度为 $x$、纵坐标跨度为 $y$ 的区域。方案如下图（ $x=3,y=5$）：尽可能全部摆在对角线处，使每个染色正方形都能同时对横纵坐标的跨度增加做出贡献。

然而题目只给定了周长 $m$，并未指定 $x,y$，那么为了使 $\max(x,y)$ 最小，我们应取 $x=\lfloor\frac{m}{4}\rfloor, y=\lceil\frac{m}{4}\rceil$。因此，周长为 $m$ 时， $n$ 最小可取 $\lceil \frac{m}{4}\rceil$。

**给定周长，最多可以染多大面积？**经过极限的膨胀，一个横坐标跨度为 $x$、纵坐标跨度为 $y$ 的区域（周长为 $2(x+y)$），染色面积显然最大为 $x\cdot y$。然而题目只给定了周长 $m$，并未指定 $x,y$，那么为了使 $x\cdot y$ 最大，我们仍应取 $x=\lfloor\frac{m}{4}\rfloor, y=\lceil\frac{m}{4}\rceil$。因此，周长为 $m$ 时， $n$ 最大可取 $\lfloor\frac{m}{4}\rfloor \cdot \lceil\frac{m}{4}\rceil$。

刚才的一系列讨论是基于【答案只在一个 “区域” 内染色】的假设的。

如果可以撑起多个区域来染色，给定周长 $m$，最少可以染多大面积？由于 $n$ 个正方形总共只有 $4n$ 条边，因此 $m\leq 4n$ 即 $n\geq \frac{m}{4}$，可见只撑起一个区域时 $n$ 最小取得 $\lceil \frac{m}{4}\rceil$ 已是最优方案。

如果可以撑起多个区域来染色，给定周长 $m$，最多可以染多大面积？我们考虑先把多个区域内所有正方形全部染色。这时，将各区域平移使多个区域融合成一个区域，会发现有一些周长边在融合时消失，说明当前的染色面积可以由更少的周长在一个撑起区域内实现，既然如此，那么当前周长值就应该能够染更多面积，因此，撑起多个区域的方案不会是最优的。

接下来就是染色方案了。我们永远将给定的周长 $m$ 撑起一个跨度为 $x=\lfloor\frac{m}{4}\rfloor, y=\lceil\frac{m}{4}\rceil$ 的区域，先在对角线以及 $y>x$ 多出的长条部分上染色、确保先用 $\max(x,y)$ 个正方形把区域撑起来，再不断在当前已染区域的相邻斜线上染色，直到染够 $n$ 个正方形，如下图左侧。注意，不可横着或竖着染色，否则不满足 “凸” 多边形的要求，如下图右侧。

AC代码

#include<cstdio>void solve(int n , int m){if(m%2==1){printf("No\n");return;  //continue;}int x = m/4;int y = m/2 - x;if(n<y || n>x*y){printf("No\n");return;  //continue;}printf("Yes\n");for(int i=1 ; i<=x && n>0 ; ++i) {printf("%d %d\n" , i , i);--n;}if(x<y && n>0) {printf("%d %d\n" , x , y);--n;}// for(int i=1 ; i<=x && n>0 ; ++i){
// for(int j=1 ; j<=y && n>0 ; ++j){
// if(i==j) continue;
// printf("%d %d\n" , i , j);
// --n;
// }
// }for(int d=1 ; d<=x && n>0 ; ++d){for(int i=1 ; i<=x && n>0 ; ++i){if(i+d>x) break;printf("%d %d\n" , i+d , i);--n;}}for(int d=1 ; d<=y && n>0 ; ++d){for(int i=1 ; i<=x && n>0 ; ++i){if(i+d>y) break;if(i==x && i+d==y) continue;printf("%d %d\n" , i , i+d);--n;}}
}int main(){// for(int m=1 ; m<=50 ; ++m){
// for(int n=1 ; n<=10 ; ++n){
// printf("\n\nn=%d , m=%d:\n" , n , m);
// solve(n,m);
// }
// }int t;scanf("%d" , &t); //printf("%d\n" , t);while(t--){int n,m;scanf("%d%d" , &n , &m); //printf("%d %d\n" , n , m);solve(n,m);}return 0;
}