【LeetCode】119.杨辉三角 II （动态规划+数学公式，java实现）

题目描述（简单难度）

和 118 题 一样，依旧是杨辉三角。区别在于之前是输出所有层的数，这道题只需要输出第 k 层的数。

解法一

和 118 题 一样，我们只需要一层一层的求。但是不需要把每一层的结果都保存起来，只需要保存上一层的结果，就可以求出当前层的结果了。

public List<Integer> getRow(int rowIndex) {List<Integer> pre = new ArrayList<>();List<Integer> cur = new ArrayList<>();for (int i = 0; i <= rowIndex; i++) {cur = new ArrayList<>();for (int j = 0; j <= i; j++) {if (j == 0 || j == i) {cur.add(1);} else {cur.add(pre.get(j - 1) + pre.get(j));} }pre = cur;}return cur;
}

参考 这里，其实我们可以优化一下，我们可以把 pre 的 List 省去。

这样的话，cur每次不去新建 List，而是把cur当作pre。

又因为更新当前j的时候，就把之前j的信息覆盖掉了。而更新 j + 1 的时候又需要之前j的信息，所以在更新前，我们需要一个变量把之前j的信息保存起来。

public List<Integer> getRow(int rowIndex) {int pre = 1;List<Integer> cur = new ArrayList<>();cur.add(1);for (int i = 1; i <= rowIndex; i++) {for (int j = 1; j < i; j++) {int temp = cur.get(j);cur.set(j, pre + cur.get(j));pre = temp;}cur.add(1);}return cur;
}

区别在于我们用了 set 函数来修改值，由于当前层比上一层多一个元素，所以对于最后一层的元素如果用 set 方法的话会造成越界。此外，每层的第一个元素始终为1。基于这两点，我们把之前j == 0 || j == i的情况移到了for循环外进行处理。

除了上边优化的思路，还有一种想法，那就是倒着进行，这样就不会存在覆盖的情况了。

因为更新完j的信息后，虽然把j之前的信息覆盖掉了。但是下一次我们更新的是j - 1，需要的是j - 1和j - 2 的信息，j信息覆盖就不会造成影响了。

public List<Integer> getRow(int rowIndex) {int pre = 1;List<Integer> cur = new ArrayList<>();cur.add(1);for (int i = 1; i <= rowIndex; i++) {for (int j = i - 1; j > 0; j--) {cur.set(j, cur.get(j - 1) + cur.get(j));}cur.add(1);//补上每层的最后一个 1 }return cur;
}

解法二 公式法

如果熟悉杨辉三角，应该记得杨辉三角其实可以看做由组合数构成。

根据组合数的公式，将(n-k)!约掉，化简就是下边的结果。

$C^k_n = n!/(k!(n-k)!) = (n*(n-1)*(n-2)*...(n-k+1))/k!$

然后我们就可以利用组合数解决这道题。

public List<Integer> getRow(int rowIndex) {List<Integer> ans = new ArrayList<>();int N = rowIndex;for (int k = 0; k <= N; k++) {ans.add(Combination(N, k));}return ans;
}private int Combination(int N, int k) {long res = 1;for (int i = 1; i <= k; i++)res = res * (N - k + i) / i;return (int) res;
}

参考 这里，我们可以优化一下。

上边的算法对于每个组合数我们都重新求了一遍，但事实上前后的组合数其实是有联系的。

$C_n^k=C_n^{k-1}\times(n-k+1)/k$

代码的话，我们只需要用pre变量保存上一次的组合数结果。计算过程中，可能越界，所以用到了long。

public List<Integer> getRow(int rowIndex) {List<Integer> ans = new ArrayList<>();int N = rowIndex;long pre = 1;ans.add(1);for (int k = 1; k <= N; k++) {long cur = pre * (N - k + 1) / k;ans.add((int) cur);pre = cur;}return ans;
}

总

这道题其实还是比较简单的，只是优化的两种方法是比较常用的，一种就是用pre变量将要被覆盖的变量存起来，另一种就是倒着进行。另外求组合数的时候，要防止int的溢出。