【Codeforces】1665D GCD Guess 题解

思路

不能超过30次，所以应该往位运算上靠 (反正我当时是没想到)

假设有两个数$a=(....000{)}_2$,即二进制以3个零结尾，那么$gcd(a,2^3)=2^3$。而假如$a=(...100{)}_2$，那么$gcd(a,2^3)?=2^3$。

所以我们就借用这种思路。
我们用$r$表示我们已经得到的$x$的低位部分。那么$x?r$就是我们需要去判断的位数。

如何判断第$n$位是不是$1$？（此时低位部分已经被减去，均为$0$），那么我们就让这一位加上$1$，再求与$2^{n+1}$的$gcd$。如果结果是$2^{n+1}$,那么第$n$位就是$1$。

因为如果第$n$位是$1$，再在这一位加上$1$后，一定会产生进位。那么$1,2,3...n$位均为$0$，那么不论高位是什么，gcd就是$2^{n+1}$，如果第$n$位是$0$，不会产生进位，那么$gcd$就不可能是$2^{n+1}$。

而题目返回的值是$gcd(x+a,x+b)$的值，所以我们需要稍微转换一下。

$gcd(x+(1<<(i?1))?r,(1<<i)+x+(1<<(i?1))?r)=gcd(x+(1<<(i?1))?r,1<<i))$

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;int query(int a, int b)
{
    cout << "? " << a << " " << a + b << endl;int tmp; cin >> tmp;return tmp;
}int T;int main()
{
    cin >> T;while(T--) {
    int r = 0;for(int i = 1; i <= 30; ++i) {
    int tmp = query((1 << (i - 1)) - r, 1 << i);if(tmp == (1 << i)) r |= 1 << (i - 1);}cout << "!" << " " << r << endl;}return 0;
}