CINTA作业一、加减乘除

用 C 语言编程实现一种迭代版本的简单乘法。

#include<iostream>using namespace std;int main(){
int sum=0,a, b;cin >> a >> b;for (int i = 0; i < b; i++){sum += a;
}return 0;}

证明命题1.1。

①、设a、b、c∈Z，如果a|b、b|c，则a|c。
? ? ∵a|b、b|c
? ? ∴存在且唯一存在整数m、n满足b=am和c=bn
? ? ∴c=bn=amn
? ? ∴c/a=mn，而mn是整数(整数域的乘法闭合)
? ? ∴a|c成立

②、设a、b、c∈Z，如果a|b、b|c，则a|c。如果c|a、c|b，则对任意m、n∈Z，有c|(Ma+nb)
? ? ∵c|a、c|b
? ? ∴存在且唯一存在整数i、j满足a=ci和b=cj
? ? ∴ma=cim,nb=cjn
? ? ∴ma+nb=cim+cjn=c(im+jn)，而im和jn均为整数
? ? ∴c|(ma+nb)成立

完成定理1.1的证明(除法算法)。

证明包括两部分：存在性和唯一性。
构造集合S = {a ? bk : k ∈ Z 且 a ? bk ≥ 0}。
①、存在性：
? ? 显然，集合 S 非空。由良序原则，存在一个最小元 r ∈ S，且 r = a ? qb。
? ? 因此，a = qb + r, r ≥ 0。
? ? 且由a=qb+r得a/b=q+r/b，显然有a/b≥q，
? ? 而a/b是个有理数，故它的取值范围将限制为q≤a/b＜q+1。（这步的除法感觉是犯规）
? ? 因此q+r/b＜q+1即r/b＜1即r＜b

②、唯一性：
? ? 假定存在两对整数对q1和r1、q2和r2，且q1≠q2、r1≠r2
? ? 那么有q1b+r1=q2b+r2=a
? ? ∴(q1-q2)*b=r2-r1。
? ? ∵q1≠q2，且q1和q2都是整数，
? ? ∴q1-q2是个非零整数，
? ? 很明显，r2和r1的差值为b的倍数
? ? 无论是r1＞r2还是r1＜r2，其中的一个必然是不满足0≤r＜b这个条件的。