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摩尔投票算法(Boyer-Moore Algorithm)详解(转)

热度:68   发布时间:2023-12-26 10:05:45.0

转:https://blog.csdn.net/kimixuchen/article/details/52787307


问题描述

给定一个无序数组,有n个元素,找出其中的一个多数元素,多数元素出现的次数大于? n/2 ?,注意数组中也可能不存在多数元素。

一般解法

  1. 先对数组排序,然后取中间位置的元素,再对数据扫描一趟来判断此元素是否为多数元素。时间复杂度O(nlog(n)),空间复杂度O(1)。
  2. 使用一个hash表,对数组进行一趟扫描统计每个元素出现的次数,即可得到多数元素。时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)。

Boyer-Moore 算法

该算法时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1),只需要对原数组进行两趟扫描,并且简单易实现。第一趟扫描我们得到一个候选节点candidate,第二趟扫描我们判断candidate出现的次数是否大于? n/2 ?。

第一趟扫描中,我们需要记录2个值:

  1. candidate,初值可以为任何数
  2. count,初值为0

之后,对于数组中每一个元素,首先判断count是否为0,若为0,则把candidate设置为当前元素。之后判断candidate是否与当前元素相等,若相等则count+=1,否则count-=1。

python代码:

candidate = 0
count = 0
for value in input:if count == 0:candidate = valueif candidate == value:count += 1else:count -= 1

在第一趟扫描结束后,如果数组中存在多数元素,那么candidate即为其值,如果原数组不存在多数元素,则candidate的值没有意义。所以需要第二趟扫描来统计candidate出现的次数来判断其是否为多数元素。

代码虽简单,但我们不光要知其然,更要知其所以然,探究代码背后的原理往往可以收获更多。

原理解析

为了解析算法的原理,我们只要考虑存在多数元素的情况即可,因为第二趟扫描可以检测出不存在多数元素的情况。

举个例子,我们的输入数组为[1,1,0,0,0,1,0],那么0就是多数元素。
首先,candidate被设置为第一个元素1,count也变成1,由于1不是多数元素,所以当扫描到数组某个位置时,count一定会减为0。在我们的例子中,当扫描到第四个位置时,count变成0.

count 值变化过程:
[1,2,1,0……

当count变成0时,对于每一个出现的1,我们都用一个0与其进行抵消,所以我们消耗掉了与其一样多的0,而0是多数元素,这意味着当扫描到第四个位置时,我们已经最大程度的消耗掉了多数元素。然而,对于数组从第五个位置开始的剩余部分,0依然是其中的多数元素(注意,多数元素出现次数大于? n/2 ?,而我们扫描过的部分中多数元素只占一般,那剩余部分中多数元素必然还是那个数字)。如果之前用于抵消的元素中存在非多数元素,那么数组剩余部分包含的多数元素就更多了。

类似的,假设第一个数字就是多数元素,那么当count减为0时,我们消耗掉了与多数元素一样多的非多数元素,那么同样道理,数组剩余部分中的多数元素数值不变。

这两种情况证明了关键的一点:数组中从candidate被赋值到count减到0的那一段可以被去除,余下部分的多数元素依然是原数组的多数元素。我们可以不断重复这个过程,直到扫描到数组尾部,那么count必然会大于0,而且这个count对应的candinate就是原数组的多数元素。

分布式Boyer-Moore

Boyer-Moore还有一个优点,那就是可以使用并行算法实现。相关算法可见Finding the Majority Element in Parallel
其基本思想为对原数组采用分治的方法,把数组划分成很多段(每段大小可以不相同),在每段中计算出candidate-count二元组,然后得到最终结果。

举个例子,原数组为[1,1,0,1,1,0,1,0,0]
划分1:
[1,1,0,1,1] –> (candidate,count)=(1,3)
划分2:
[0,1,0,0] –> (candidate,count)=(0,2)
根据(1,3)和(0,2)可得,原数组的多数元素为1.

正因为这个特性,考虑若要从一个非常大的数组中寻找多数元素,数据量可能多大数百G,那么我们甚至可以用MapReduce的方式来解决这个问题。

参考

  1. https://gregable.com/2013/10/majority-vote-algorithm-find-majority.html
  2. The Boyer-Moore Majority Vote Algorithm
  3. Finding the Majority Element in Parallel
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