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BZOJ3675 [Apio2014]序列分割 【斜率优化dp】

热度:60   发布时间:2023-12-25 05:02:23.0

3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里,小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列,小H需要重复k次以下的步骤:
1.小H首先选择一个长度超过1的序列(一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列);
2.选择一个位置,并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后,小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式,使得k轮之后,小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n,k(k+1≤n)。

第二行包含n个非负整数a1,a2,...,an(0≤ai≤10^4),表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数,为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT



【样例说明】 

在样例中,小H可以通过如下3轮操作得到108分: 

1.-开始小H有一个序列(4,1,3,4,0,2,3)。小H选择在第1个数之后的位置 

将序列分成两部分,并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。 

2.这一轮开始时小H有两个序列:(4),(1,3,4,0,2,3)。小H选择在第3个数 

字之后的位置将第二个序列分成两部分,并得到(1+3)×(4+0+2+ 

3)=36分。 

3.这一轮开始时小H有三个序列:(4),(1,3),(4,0,2,3)。小H选择在第5个 

数字之后的位置将第三个序列分成两部分,并得到(4+0)×(2+3)= 

20分。 

经过上述三轮操作,小H将会得到四个子序列:(4),(1,3),(4,0),(2,3)并总共得到52+36+20=108分。 

【数据规模与评分】 

:数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1,200)。



经观察发现,当分割点确定后,分割的顺序对结果没有影响。

就比如a,b,c割两次

bc + a(b + c) = ab + ac + bc

ab + c(a + b) = ab + ac + bc

所以我们可以设f[k][i]表示第k次割第i个位置的最大价值

有f[k][i] = max{f[k - 1][j] + (s[j + 1] - s[i + 1]) * s[i + 1]};【s[i]为后缀和】

划为斜截式就是 -s[i + 1] * s[j + 1] + f[k][i] = f[k - 1][j]

使截距最大,维护凸包

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define eps 1e-9
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 105,INF = 1000000000;
inline int read(){int out = 0,flag = 1;char c = getchar();while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}return out * flag;
}
LL n = 0,N,K,A[maxn],B[maxn],s[maxn],f[2][maxn],q[maxn],head,tail,p = 1,now = 0;
inline double slope(int u,int v){return (double)(f[p][u] - f[p][v]) / (s[u + 1] - s[v + 1]);
}
int main()
{//freopen("in.txt","r",stdin);//freopen("out1.txt","w",stdout);N = read(); K = read();REP(i,N) A[i] = read();REP(i,N) if (A[i]) B[++n] = A[i];for (int i = n; i > 0; i--) s[i] = s[i + 1] + B[i];for (int k = 1; k <= K; k++,p ^= 1,now ^= 1){q[head = tail = 0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){while (head < tail && slope(q[head],q[head + 1]) < -s[i + 1] + eps) head++;int j = q[head];//cout<<j<<' ';f[now][i] = f[p][j] + (s[j + 1] - s[i + 1]) * s[i + 1];while (head < tail && slope(q[tail],q[tail - 1]) > slope(i,q[tail]) + eps) tail--;q[++tail] = i;}//REP(i,n) cout<<f[now][i]<<' ';cout<<endl;}LL ans = 0;REP(i,n) ans = max(ans,f[p][i]);cout<<ans<<endl;return 0;
}