高级算法设计之 -- Derandomized MAXCUT Approximation

笔记来源：高级算法设计（孙晓明老师部分）
本文参考：http://people.seas.harvard.edu/~salil/pseudorandomness/basic.pdf

关于条件期望用于去随机化的原理https://blog.csdn.net/qq_38662930/article/details/105141845

最大割

定义将图的顶点分为两个集合，使得集合间的边数最大
形式化定义：


设最优的割划分为$OPT$,随机算法求出的一个割为$\delta (U)$定义其比值 为$\frac{\delta (U)}{OPT}$,比值越接近1越好 。通过随机 算法可以找到一个之割，其期望割边至少是边数的二分之一。

主要思想是：对于每一个顶点以掷硬币的方式决定其是否属于所求的割。

证明：分为两个集合S和T，?(ui,vj)∈E当ui∈S,vj∈T，或ui∈T,vj∈S时即pr(xi≠xj),则ui,vj在对应的割中Pr{(ui,vj)∈E(S,T)}=1/4+1/4=1/2，此时E{δ(U)}=E2\forall (u_i,v_j) \in E \\ 当u_i \in S,v_j \in T，或u_i \in T,v_j \in S时\\ 即pr(x_i\ne x_j) ,则u_i,v_j 在对应的割 中\\ Pr\{(u_i,v_j)\in E(S,T)\}=1/4+1/4=1/2，\\此时E\{\delta(U) \}=\frac{E}{2}?(ui?,vj?)∈E当ui?∈S,vj?∈T，或ui?∈T,vj?∈S时即pr(xi???=xj?),则ui?,vj?在对应的割中Pr{ (ui?,vj?)∈E(S,T)}=1/4+1/4=1/2，此时E{ δ(U)}=2E?,
当不再是硬币选择是（例如1/3，则结果可以是5/9），概率变会提高，因此最小是1/2

利用条件期望去随机化

主要思想：利用逐次固定变量的优化方法，先通过期望找到一个好的然后利用条件期望去随机化。
如上图所示，我们己经求出$E(|E(A,B)|)$的期望，然后利用全概率公式展开成关于$Z_1(表示第一个顶点是否进入所求割)$的条件概率期望,我们总能求出关于$E(Y|Z_1=1)$和$E(Y|Z_1=0)$的大小关系，然后向上放大。接下来我们再求出关于$Z_1 $的最优解，然后再对$X_2 $进行展开和放大，直到所有的顶点全部展开.

从而求得一个可行割$$|E（A,B）|=E（Y|u_1\in A,u_2\in B...）\ge E(|E(A,B)|)$$