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[题解]bzoj1297(SCOI2009)迷路

热度:8   发布时间:2023-12-22 02:52:06.0

Description

windy在有向图中迷路了。 该有向图有 N 个节点,windy从节点 0 出发,他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。 现在给出该有向图,你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗? 注意:windy不能在某个节点逗留,且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

Input

第一行包含两个整数,N T。 接下来有 N 行,每行一个长度为 N 的字符串。 第i行第j列为’0’表示从节点i到节点j没有边。 为’1’到’9’表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

Output

包含一个整数,可能的路径数,这个数可能很大,只需输出这个数除以2009的余数。

Sample Input

【输入样例一】

2 2
11
00

【输入样例二】

5 30
12045
07105
47805
12024
12345

Sample Output

【输出样例一】

1

【样例解释一】
0->0->1

【输出样例二】

852

HINT

30%的数据,满足 2 <= N <= 5 ; 1 <= T <= 30 。 100%的数据,满足 2 <= N <= 10 ; 1 <= T <= 1000000000 。

Solution

设图的邻接矩阵为 A 。在不考虑边权(或者边权都为1)的时候, An 中的元素 Ani,j 也表示i到j经过n条边(路径长度为n)的方案数。
为什么呢?我们用归纳法证明。
因为当 n=1 时显然成立,然后对于任意 n>1 ,有 An=An?1?A ,则对于 An 中每个元素,有

Ani,j=An?1i,k?Ak,j

如果性质在 An?1 中成立,那么 Ani,j 就表示 i到k经过n-1条边的方案总数×k到j经过1条边的方案总数,结果就是i到j经过n条边的方案总数,所以 An 符合性质,即如果 An?1 满足性质,那么 An 满足性质。所以命题得到证明。
所以当题目中的图中边权全都是1的时候,0到n-1号节点走过边权为m的答案就是 Am0,n?1
现在我们想办法把图中边权变为1。
不难想到拆点:(图中是1到2有一条边权为5的边的情况)
这里写图片描述
这样图中所有边权都化为1,构出新图的邻接矩阵然后快速幂即可。
代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int maxn=105,mod=2009;
struct matrix{int a[maxn][maxn];matrix(){memset(a,0,sizeof a);}
}temp,I;
int n,T,size;
char s[maxn];matrix cheng(matrix x,matrix y){matrix re;for(int i=0;i<size;i++){for(int j=0;j<size;j++){for(int k=0;k<size;k++){(re.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j])%=mod;}}}return re;
}
matrix pow(matrix x,int y){matrix re=I;while(y){if(y&1)re=cheng(re,x);x=cheng(x,x);y>>=1;}return re;
}int main(){scanf("%d%d",&n,&T);for(int i=0;i<n;i++){for(int j=1;j<=8;j++){temp.a[i+(j-1)*n][i+j*n]=1;}}size=n*9;for(int i=0;i<size;i++){I.a[i][i]=1;}for(int i=0;i<n;i++){scanf("\n%s",s);for(int j=0;j<n;j++){if(s[j]>'0'){temp.a[i+(s[j]-'0'-1)*n][j]=1;}}}temp=pow(temp,T);printf("%d\n",temp.a[0][n-1]);return 0;
}