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机器学习|泊松分布+正态分布|10mins入门|概统学习笔记(六)

热度:22   发布时间:2023-12-21 14:26:16.0

泊松分布

  • 定义:一种离散型分布,是二项分布的泊松近似

    设随机变量X所有可能取的值为0,1,…,且概率分布为:
    P ( X = k ) = e ? λ λ k k ! , k = 0 , 1 , 2 , . . . . P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,.... P(X=k)=e?λk!λk?,k=0,1,2,....
    其中 λ > 0 \lambda>0 λ>0是常数,且 λ = n p \lambda=np λ=np则称X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布,记作 X X X~ P ( λ ) P(\lambda) P(λ)

在这里插入图片描述

  • 稀有事件:每次试验中出现概率很小的事件

  • 由泊松定理知,n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似低服从泊松分布

  • 泊松分布产生的一般条件

    • 随机事件流:随机时刻相继出现的事件所形成的序列

    • 泊松事件流:具有平稳性、无后效性、普通型的事件流

      • 平稳性:在任意时间区间内,事件发生k次( k ≥ 0 k\geq 0 k0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关。
      • 无后效性:在不相重叠的时间段内,事件的发生是相互独立的。
      • 普通性:如果时间区间充分小,事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计

      e.g 某机场降落的飞机数,某电话交换台收到的电话呼叫数

    • 泊松事件流强度 λ \lambda λ:在任意时间间隔(0,t)内,事件(如交通事故)出现的次数服从参数为 λ \lambda λ

7.正态分布

  • 定义:是一种连续型分布,是二项概率的一个近似公式,又称高斯分布

    若随机变量X的概率密度为
    f ( x ) = 1 σ 2 π e x p ( ? ( x ? μ ) 2 2 σ 2 ) , ? ∞ < x < ∞ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt {2\pi}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}), \quad -\infty<x<\infty f(x)=σ2π ?1?exp(?2σ2(x?μ)2?),?<x<
    其中 μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2都是常数, μ \mu μ任意, σ > 0 \sigma>0 σ>0,则称X服从参数为 μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2的正态分布,记作 X X X~ N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2),f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。

    正态分布由它的两个参数 μ \mu μ σ \sigma σ唯一确定,当 μ \mu μ σ \sigma σ不同时,是不同的正态分布

  • 正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的图形特点

在这里插入图片描述

μ \mu μ决定了图形的中心位置

在这里插入图片描述

σ \sigma σ决定了图形中锋的陡峭程度
在这里插入图片描述

  • X X X~ N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2),X的分布函数是
    F ( x ) = 1 σ 2 π ∫ ? ∞ x e x p ( ? ( t ? μ ) 2 2 σ 2 d t ) , ? ∞ < x < ∞ F(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xexp(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}dt),\quad -\infty<x<\infty F(x)=σ2π ?1??x?exp(?2σ2(t?μ)2?dt),?<x<

  • 标准正态分布: μ = 0 \mu=0 μ=0, σ = 1 \sigma=1 σ=1的正态分布

    概率密度函数:
    ψ ( x ) = 1 2 π e x p ( ? x 2 2 ) , ? ∞ < x < ∞ \psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^2}{2}), \quad -\infty<x<\infty ψ(x)=2π ?1?exp(?2x2?),?<x<

在这里插入图片描述
分布函数:
? ( x ) = 1 2 π ∫ ? ∞ x e x p ( ? t 2 2 ) d t \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xexp(-\frac{t^2}{2})dt ?(x)=2π ?1??x?exp(?2t2?)dt

在这里插入图片描述

  • 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布

    定理:设 X X X ~ N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2),则 Y = X ? μ σ Y=\frac{X-\mu}{\sigma} Y=σX?μ?~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)

    因此只需将标准正态分布的分布函数制成表,就可以解决一般正态分布的概率计算问题