1. Newton-Cotes公式的一般形式
对于 I = ∫ a b f ( x ) d x I=\int_a^bf(x)dx I=∫ab?f(x)dx，将区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]分成n等份，步长为：
h = ( b ? a ) n h=\frac{(b-a)}{n} h=n(b?a)?
故求积节点 x k = a + k h ( k = 0 , 1 , 2 , ? , n ) x_k=a+kh(k=0,1,2,\cdots,n) xk?=a+kh(k=0,1,2,?,n)，通过这 n + 1 n+1 n+1个节点构造一个n次代数多项式 p n ( x ) ? f ( x ) p_n(x) \cong f(x) pn?(x)?f(x)。令
x = a + t h ( t = 0 , 1 , 2 , ? , k , ? , n ) x=a+th \quad (t=0,1,2,\cdots,k,\cdots,n) x=a+th(t=0,1,2,?,k,?,n)
作积分变换
d x = h d t dx=hdt dx=hdt
x = a , t = 0 ; x = b , t = n x=a,t=0; \quad x=b,t=n x=a,t=0;x=b,t=n
由 A k = ∫ a b l k ( x ) d x A_k=\int_a^bl_k(x)dx Ak?=∫ab?lk?(x)dx计算求积系数 A k ( k = 0 , 1 , 2 , ? , n ) A_k(k=0,1,2,\cdots,n) Ak?(k=0,1,2,?,n)，即：
A k = ∫ a b l k ( x ) d x = ∫ a b ∏ j = 0 , j ≠ k n x ? x j x k ? x j d x = ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n ( a + t h ) ? ( a + j h ) ( a + k h ) ? ( a + j h ) h d t = ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n t ? j k ? j h d t = h ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n t ? j k ? j d t A_k=\int_a^bl_k(x)dx=\int_a^b\prod^n_{j=0,j\neq k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}dx=\int_0^n\prod^n_{j=0,j\neq k}\frac{(a+th)-(a+jh)}{(a+kh)-(a+jh)}hdt \\ =\int_0^n \prod^n_{j=0,j\neq k}\frac{t-j}{k-j}hdt=h\int_0^n\prod_{j=0,j\neq k}^n\frac{t-j}{k-j}dt Ak?=∫ab?lk?(x)dx=∫ab?j=0,j??=k∏n?xk??xj?x?xj??dx=∫0n?j=0,j??=k∏n?(a+kh)?(a+jh)(a+th)?(a+jh)?hdt=∫0n?j=0,j??=k∏n?k?jt?j?hdt=h∫0n?j=0,j??=k∏n?k?jt?j?dt
因为
∏ j = 0 , j ≠ k n ( k ? j ) = k ( k ? 1 ) ? ( k ? ( k ? 1 ) ) ? ( k ? ( k + 1 ) ) ? ( k ? n ) = k ( k ? 1 ) ? 1 ? ( ? 1 ) ( ? 2 ) ? ( ? ( n ? k ) ) = k ! ( ? 1 ) n ? k ( n ? k ) ! \prod^n_{j=0, j\neq k}(k-j)=k(k-1)\cdots(k-(k-1))·(k-(k+1))\cdots (k-n)\\ =k(k-1)\cdots 1·(-1)(-2)\cdots (-(n-k))=k!(-1)^{n-k}(n-k)! j=0,j??=k∏n?(k?j)=k(k?1)?(k?(k?1))?(k?(k+1))?(k?n)=k(k?1)?1?(?1)(?2)?(?(n?k))=k!(?1)n?k(n?k)!
所以
A k = h ( ? 1 ) n ? k k ! ( n ? k ) ! ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n ( t ? j ) d t A_k=\frac{h(-1)^{n-k}}{k!(n-k)!}\int_0^n\prod_{j=0,j\neq k}^n(t-j)dt Ak?=k!(n?k)!h(?1)n?k?∫0n?j=0,j??=k∏n?(t?j)dt
令
C k = A k b ? a = A k n h = ( ? 1 ) n ? k n k ! ( n ? k ) ! ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n ( t ? j ) d t (1) C_k=\frac{A_k}{b-a}=\frac{A_k}{nh}=\frac{(-1)^{n-k}}{nk!(n-k)!}\int_0^n\prod_{j=0,j\neq k}^n(t-j)dt \tag{1} Ck?=b?aAk??=nhAk??=nk!(n?k)!(?1)n?k?∫0n?j=0,j??=k∏n?(t?j)dt(1)
称 C k C_k Ck?为Cotes（柯特斯）系数。故
∫ a b f ( x ) d x ? ( b ? a ) ∑ k = 0 n C k f ( x k ) (2) \int_a^bf(x)dx\cong (b-a)\sum_{k=0}^nC_kf(x_k) \tag{2} ∫ab?f(x)dx?(b?a)k=0∑n?Ck?f(xk?)(2)
（1）式即为n阶的Newton-Cotes公式的一般形式。
如果给定n，则 C k C_k Ck?可由（1）式计算出来。下标给出了 n = 1 ? 10 n=1\sim 10 n=1?10的Cotes系数。应该注意
1）表中的系数 c k c_k ck?要乘倍率K，才是公式（1）和（2）中的 C k C_k Ck?。例如，当n=3时， C 0 = 1 8 , C 1 = 3 8 , C 2 = 3 8 , C 3 = 1 8 C_0=\frac{1}{8},C_1=\frac{3}{8},C_2=\frac{3}{8},C_3=\frac{1}{8} C0?=81?,C1?=83?,C2?=83?,C3?=81?。
2）当n大于等于6时，表中未列出的系数可根据对称性得到。例如，当n=6时， C 6 = 41 840 C_6=\frac{41}{840} C6?=84041?。
根据上述规则，可以写出 n = 4 n=4 n=4的Newton-Cotes公式如下：
∫ a b f ( x ) d x ? 1 90 ( b ? a ) [ 7 f ( x 0 ) + 32 f ( x 1 ) + 12 f ( x 2 ) + 32 f ( x 3 ) + 7 f ( x 4 ) ] \int_a^bf(x)dx \cong \frac{1}{90}(b-a)[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4)] ∫ab?f(x)dx?901?(b?a)[7f(x0?)+32f(x1?)+12f(x2?)+32f(x3?)+7f(x4?)]
其中， x 0 = a , x 4 = b x_0=a,x_4=b x0?=a,x4?=b.
2. Newton-Cotes公式的稳定性
在Newton-Cotes公式（2）中，设计算函数值 f ( x k ) ( k = 1 , 2 , ? , n ) f(x_k)(k=1,2,\cdots,n) f(xk?)(k=1,2,?,n)所产生的舍入误差为 ? k ( k = 1 , 2 , ? , n ) \epsilon_k(k=1,2,\cdots,n) ?k?(k=1,2,?,n)，则用Newton-Cotes公式计算积分的误差为：
η = ( b ? a ) ∑ k = 0 n C k f ( x k ) ? ( b ? a ) ∑ k = 0 n C k [ f ( x k ) + ? k ] = ( b ? a ) ∑ j = 0 n C k ? k \eta=(b-a)\sum_{k=0}^nC_kf(x_k)-(b-a)\sum_{k=0}^nC_k[f(x_k)+\epsilon_k]=(b-a)\sum_{j=0}^nC_k\epsilon_k η=(b?a)k=0∑n?Ck?f(xk?)?(b?a)k=0∑n?Ck?[f(xk?)+?k?]=(b?a)j=0∑n?Ck??k?
令 ? = m a x 0 ≤ k ≤ n ∣ ? k ∣ \epsilon=max_{0\leq k\leq n}|\epsilon_k| ?=max0≤k≤n?∣?k?∣，当Cotes系数全为正时 ( n ≤ 7 , n = 9 ) (n\leq 7,n=9) (n≤7,n=9)，则
∣ η ∣ ≤ ( b ? a ) ∑ k = 0 n ∣ C k ? k ∣ ≤ ( b ? a ) ? ∑ k = 0 n ∣ C k ∣ = ( b ? a ) ? |\eta|\leq (b-a)\sum_{k=0}^n|C_k\epsilon_k|\leq (b-a)\epsilon \sum_{k=0}^n|C_k|=(b-a)\epsilon ∣η∣≤(b?a)k=0∑n?∣Ck??k?∣≤(b?a)?k=0∑n?∣Ck?∣=(b?a)?
所以，Newton-Cotes公式是数值稳定的。如果Cotes系数有正有负，则 ∑ k = 0 n ∣ C k ∣ > 1 \sum_{k=0}^n|C_k|>1 ∑k=0n?∣Ck?∣>1
随着n的增大，该值变得越来越大，并且对 ∣ η ∣ |\eta| ∣η∣的影响越来越大，容易出现数值不稳定现象。因此，高阶 ( n ≥ 8 ) (n\geq 8) (n≥8)的Newton-Cotes公式在实际中很少应用。
3. 截断误差与代数精度
- 截断误差
Newton-Cotes公式是插值型求积公式，故其余项R是Lagrange插值多项式余项的积分：
R = ∫ a b f ( x ) d x ? ∑ i = 0 n A i f ( x i ) = ∫ a b f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 n ( x ? x i ) d x , ξ ∈ [ a , b ] R=\int_a^bf(x)dx-\sum_{i=0}^nA_if(x_i)=\int_a^b\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)dx, \quad \xi\in[a,b] R=∫ab?f(x)dx?i=0∑n?Ai?f(xi?)=∫ab?(n+1)!f(n+1)(ξ)?i=0∏n?(x?xi?)dx,ξ∈[a,b]
即
R = ∫ a b f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 n ( x ? x i ) d x , ξ ∈ [ a , b ] R=\int_a^b\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)dx, \quad \xi \in [a,b] R=∫ab?(n+1)!f(n+1)(ξ)?i=0∏n?(x?xi?)dx,ξ∈[a,b]
做积分变换 x = a + t h , d x = h d t , x = a , t = 0 ; x = b , t = n x=a+th,dx=hdt,x=a,t=0;x=b,t=n x=a+th,dx=hdt,x=a,t=0;x=b,t=n，有：
R = ∫ 0 a f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( a + t h ? a ? 0 h ) ( a + t h ? a ? 1 h ) ? ( a + t h ? a ? n h ) h d t R=\int_0^a\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(a+th-a-0h)(a+th-a-1h)\cdots(a+th-a-nh)hdt R=∫0a?(n+1)!f(n+1)(ξ)?(a+th?a?0h)(a+th?a?1h)?(a+th?a?nh)hdt
故
R = h n + 2 ( n + 1 ) ! ∫ 0 n f ( n + 1 ) ( ξ ) ∏ k = 0 n ( t ? k ) d t , ξ ∈ [ a , b ] R=\frac{h^{n+2}}{(n+1)!}\int_0^nf^{(n+1)}(\xi)\prod_{k=0}^n(t-k)dt, \quad \xi\in [a,b] R=(n+1)!hn+2?∫0n?f(n+1)(ξ)k=0∏n?(t?k)dt,ξ∈[a,b]
在推导几个低阶Newton-Cotes公式的截断误差时，会用到广义积分中值定理。即：
定理1：设函数 g ( x ) g(x) g(x)即 f ( x ) g ( x ) f(x)g(x) f(x)g(x)在[a,b]上可积，函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 m ≤ f ( x ) ≤ M m\leq f(x)\leq M m≤f(x)≤M（m，M为常数），函数 g ( x ) g(x) g(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上不变号，即始终有 g ( x ) ≤ 0 g(x)\leq 0 g(x)≤0或 g ( x ) ≥ 0 g(x) \geq 0 g(x)≥0，则
∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x , ξ ∈ [ a , b ] \int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx, \quad \xi \in[a,b] ∫ab?f(x)g(x)dx=f(ξ)∫ab?g(x)dx,ξ∈[a,b]
- 代数精度
定理2：具有n+1个求积节点的Newton-Cotes公式在n为偶数时，其代数精度为n+1次。