『数位DP』POJ3971：Scales

题目描述

有一个物品重量为$w$，现在你有$1,2,4,\dots ,2^n$重量的砝码，问有多少种方法可以使得天平平衡。

$w$以二进制给出。

题解

观察到砝码都是2的整次幂，在二进制中只有一位数是$1$，其余都是$0$.

我们可以将一组砝码的重量归为x，另一组为y，求满足如下条件的方案数：$$\{\begin{array}{l}xandy=0\\ x+w=y\end{array}$$
因此我们就可以转化成这样的一个n为等式：$$\begin{gathered} \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \\ +01101011000 \\ ?????????? \\ \square \square \square \square \square \square \square \square \square \square \end{gathered}$$

其中每一列的方框只能填写至多一个1.

观察一下性质，我们可以使用数位DP来解决问题。设$f[i][0/1]$表示到第i位，满足条件，下一步是($1$)否($0$)产生进位的方案数。

当前位为$1$时：假设上一位的进位情况为$last$，当前位填写的数位$x$。

• 如果进位需要满足条件:$$x+last+0>1$$
  所有合法的解是：$$\{\begin{array}{l}x=1\\ last=1\end{array}$$
  因此有转移方程：$$f[i][1]=f[i?1][1]$$
• 如果不进位，需要满足：$$x+last+0\le 1$$
  所有合法的解为：$$①\{\begin{array}{l}x=0\\ last=0\end{array}②\{\begin{array}{l}x=1\\ last=0\end{array}③\{\begin{array}{l}x=0\\ last=1\end{array}$$
  所以状态转移方程有：$$f[i][j]=f[i?1][0]+f[i?1][1]$$

若当前位位1，可以使用相同的推导方法很容易得到：$$\begin{gathered} f[i][0]=f[i?1][0] \\ f[i][1]=f[i?1][0]+f[i?1][1] \end{gathered}$$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>using namespace std;
const int N = 2000000;char a[N];
int n, m, D;
int f[N][2];void init(void)
{
    cin>>n>>m>>D;memset(f,0,sizeof f);for (int i=1;i<=m;++i) cin>>a[i];reverse(a+1,a+m+1);for (int i=m+1;i<=n;++i) a[i] = 48;return;
}void DP(void)
{
    #define upd(a,b) (a=(a+b)%D)f[0][0] = 1;for (int i=1;i<=n;++i){
    if (a[i] == 48) {
    upd(f[i][0],f[i-1][0]+f[i-1][1]);upd(f[i][1],f[i-1][1]);}else {
    upd(f[i][0],f[i-1][0]);upd(f[i][1],f[i-1][0]+f[i-1][1]);}}cout<<f[n][0]<<endl;return;
}void work(void)
{
    init();DP();return;
}int main(void)
{
    int T; cin>>T;while (T --) work();return 0;
}