结合 高翔老师的著作《视觉SLAM十四讲：从理论到实践》，加上小白的工程经验共同完成。建议作为笔记功能反复使用。
一、四元数的定义
旋转矩阵用九个量描述三自由度的旋转，具有冗余性：欧拉角与旋转向量是紧凑的，但是具有奇异性。事实上，我们找不到不带奇异性的三维向量描述方式。
奇异性举例解释为：
当我们想用两个坐标表示地球表面时（如经度和维度），必定存在奇异性（维度为°时经度无意义）。
我们用复数集表示复平面上的向量，而复数的乘法则能表示复平面上的旋转：例如，乘上复数 i 相当于逆时针把一个复向量旋转90度。四元数是Hamilton找到的一种扩展的复数，它既是紧凑的，也没有奇异性。如果说缺点的话，四元数不够直观，其运算稍微复杂一些。
一个四元数 q 拥有一个实部和三个虚部。如：
其中 i , j , k 为四元数的三个虚部。这三个虚部满足关系式：
有时人们也用一个标量和一个向量来表达四元数：
这里s称为四元数的实部，而 v 称为它的虚部。如果一个四元数的实部为零，称之为实四元数。反之，若让门的实部为零，称之为虚四元数。
我们能用单位四元数表示三维空间中任意一个旋转。乘以 i 对应着旋转180度，而 ，意味着绕 i 轴旋转360度后，你得到了一个相反的东西。这个东西要旋转两周才会和它原先的样子相等。
假设某个旋转是绕单位向量 进行了角度 的旋转，那么这个旋转的四元数形式为：
.
反之，我们亦可从单位是四元数中计算出对应旋转轴与夹角。
在四元数中吗，任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。同理，取 为0，则得到一个没有旋转的四元数：
二、四元数的运算
常见的运算有：四则运算、共轭、模长、求逆、数乘、点乘等等。
- 加法减法：
对应位置相加。 - 乘法：
把 的每一项与 每项相乘，最后整理成标准形式，如果写成向量形式并利用内外积运算，该表达式会更加简洁。
注意到，由于最后一项外积的存在，四元数乘法通常是不可交换的，除非 和 在 中贡献，那么外积项为零。 - 共轭
四元数的共轭是把虚部取成相反数。
四元数共轭与本身相乘，会得到一个实四元数，其实部为模长的平方。 - 模长
四元数模长的定义，四个数字分别平方相加后开根号。
两个四元数乘积的模即为模的乘积。 - 求逆
四元数与自己的逆的乘积为实四元数的 1。
如果 q 为单位四元数，逆和共轭就是同一个量。同时，乘积的逆有和矩阵相似的性质。 - 数乘与点乘
和向量相似，四元数可以与数相乘。
点乘是指两个四元数每个位置上的数字分别相乘。
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