拉格朗日插值法

算法流程图

算法代码

#include<iostream>#include<string>#include<vector>using namespace std;double Lagrange(int N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double x);int main(){  char a='n';  do{    cout<<"请输入差值次数n的值："<<endl;    int N;    cin>>N;    vector<double>X(N,0);    vector<double>Y(N,0);    cout<<"请输入插值点对应的值及函数值(Xi,Yi)："<<endl;    for(int a=0;a<N;a++){        cin>>X[a]>>Y[a];    }    cout<<"请输入要求值x的值："<<endl;    double x;    cin>>x;    double result=Lagrange(N,X,Y,x);    cout<<"由拉格朗日插值法得出结果： "<<result<<endl;    cout<<"是否要继续？(y/n)：";    cin>>a;  }while(a=='y');  return 0;}double Lagrange(int N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double x){  double result=0;  for(int i=0;i<N;i++){    double temp=Y[i];    for(int j=0;j<N;j++){    if(i!=j){        temp = temp*(x-X[j]);        temp = temp/(X[i]-X[j]);   }  }  result += temp;} return result;};

牛顿插值法

牛顿插值法公式如下，具体参见（百度文档）

算法流程

算法代码

#include<iostream>#include<string>#include<vector>using namespace std;double ChaShang(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y);double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double>&Y);int main(){  int n;  cin>>n;  vector<double>X(n,0);  vector<double>Y(n,0);  for(int i=0;i<n;i++){    cin>>X[i]>>Y[i];  }  double x;  cin>>x;  cout<<Newton(x,X,Y);}double ChaShang(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y){  double f=0;  double temp=0;  for(int i=0;i<n+1;i++){    temp=Y[i];    for(int j=0;j<n+1;j++)        if(i!=j) temp /= (X[i]-X[j]);    f += temp;  }  return f;}double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double> &Y){  double result=0;  for(int i=0;i<X.size();i++){    double temp=1;    double f=ChaShang(i,X,Y);    for(int j=0;j<i;j++){        temp = temp*(x-X[j]);    }    result += f*temp;  }  return result;}

实验过程原始记录

给定函数四个点的数据如下：

试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。
运行得到结果：

已知用牛顿插值公式求的近似值。
运行程序得到结果： 2.26667

实验分析

2、实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。
3、实验所得结果精确度并不高，一方面是因为所给数据较少，另一方面也是主要方面在Win32中C++中数据类型double精度只有7位，计算机在进行浮点运算时截断运算会导致误差。实际问题中，测量数据也可能导致误差。
4、在解决实际问题中，更多是利用精确且高效的计算机求解。所以解决问题时不仅要构造可求解的算法，更重要是构造合理的可以编写成程序由计算机求解的算法，而算法的优化不仅可以节省时间空间，更能得到更为精确有价值的结果。

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1楼yirancpp昨天 16:11: 美女的微积分和数值分析学得不错呀

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