数学知识：欧拉函数（筛法求欧拉函数）

欧拉函数

欧拉函数 φ(n) 表示1~n中与n互质的数的个数

873. 欧拉函数

给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义
1 ~ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为?(N)。
若在算数基本定理中，N=p1^a1p2^a2…pm^am，则：
?(N) = N?(p1?1)/p1?(p2?1)/p2?…?(pm?1)/pm

输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2?10⁹
输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4

欧拉函数公式的思路：
先将数 N 分解质因数，得到p1, p2……pk.
①从1~N中去掉p1, p2,……,pk的倍数
②加上所有pi * pj 的倍数（这些倍数在上步操作中被减了两次）
③减去所有pi * pj * pk 的倍数（这些倍数在上述两步操作中加减相抵了）
……
最终，求得 φ(N) = N(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pk)

Code:

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;int main()
{
    int n;cin >> n;while(n --){
    int x; cin >> x;int res = x;for(int i = 2; i <= x / i; i ++)if(x % i == 0){
    res = res / i * (i - 1);while(x % i == 0)  x /= i;}if(x > 1)  res = res / x * (x - 1);cout << res << endl;}return 0;
}

874. 筛法求欧拉函数

给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。

输入格式
共一行，包含一个整数n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。

数据范围
1≤n≤10⁶
输入样例：
6
输出样例：
12

筛法求欧拉函数的思路：
如果利用上道题的公式对每个数都求它们的质因数，那么时间复杂度就很高。我们可以用线性筛质数的方法进行优化，对于质数n而言，1~(n-1)都与它互斥，则它的欧拉函数值为(n-1)。
当 i % pj = 0时，pj 是 i 的最大质因子，pj*i 的所有质因子都出现在 i 的质因子中，
则 φ（ pj * i）= pj * φ( i )。
当 i % pj ≠ 0时，pj 是 pj * i 的最大质因子，且其不包含在 i 的质因子中，
则 φ( pj * i)= pj * φ( i ) * (1 - 1/pj) = φ( i ) * (pj - 1)。

Code:

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1000010;
typedef long long LL;int phi[N], primes[N], cnt;
bool st[N];LL get_eulers(int n)
{
    phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i ++){
    if(!st[i]){
    primes[cnt ++] = i;phi[i] = i - 1;}for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++){
    st[primes[j]*i] = true;if(i % primes[j] == 0){
    phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];break;}phi[primes[j]*i] = phi[i] * (primes[j] - 1);}}LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++)  res += phi[i];return res;
}int main()
{
    int n;cin >> n;cout << get_eulers(n) << endl;return 0;
}