【PAT】1007 review

int i;for（i=0； ；) 与 for(int i=0 ； ；) 两种定义循环变量的方式的区别：

the difference between int i;for(i = 0；；) and for(int i = 0；；):

• 两种均可，前者i在for循环外部定义，则i的值在程序未结束之前就一直存在，i所占的内存空间直到程序结束时才释放；后者的i在for循环内部定义，则当for循环结束时，i所占的内存空间就被释放了。一般建议用后者的方式，因为当程序较大时，前者更占内存，这样程序在运行时CPU的负担就更大，内存溢出的风险更大。

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Main Problem：PAT 1007
Keywords:prime;twin prime（孪生素数）
three methods to judge a number is a prime or not

	1   这里特殊处理了一下小于等于3的数，因为小于等于3的自然数只有2和3是质数。然后，我们只需要从2开始，一直到小于其自身，依次判断能否被n整除即可，能够整除则不是质数，否则是质数。

public static boolean isPrime(int n){
    if (n <= 3) {
    return n > 1;}for(int i = 2; i < n; i++){
    if (n % i == 0) {
    return false;}}return true;

2. 假如n是合数，必然存在非1的两个约数p1和p2，其中p1<=sqrt(n)，p2>=sqrt(n)。由此我们可以改进上述方法优化循环次数。如下：

public static boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 3) {
    return n > 1;}int sqrt = (int)Math.sqrt(n);for (int i = 2; i <= sqrt; i++) {
    if(n % i == 0) {
    return false;}}return true;
}

3质数还有一个特点，就是它总是等于 6x-1 或者 6x+1，其中 x 是大于等于1的自然数。
相关定理证明：
定理1：当n≥5时，如果n为素数，那么n%6=1或n%6=5。即n一定出现在6x（x≥1）的两侧。
证明：当x≥1时，有如下表示方法：

  ……   6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1)，6(x+1)+1   ……      

观察得，当n≥5时，不在6x（x≥1）两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，……，即2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)……。

显然，它们一定不是素数。
所以当n≥5时，素数一定出现在6x（x≥1）的两侧。

这里要注意的是，不在6x（x≥1）两侧的肯定不是素数，但在6x（x≥1）两侧的并不是一定就是素数。

所以此时需要对6x（x≥1）两侧数据进行判断。常见方法是采用普通sqrt(n)版判断素数方法（步长取6）。

定理2：若n≥6且n-1和n+1为孪生素数，那么n一定是6的倍数。

证明：所谓孪生素数指的是间隔为2的相邻素数。

∵ n-1和n+1是素数 ┈┈┈┈┈ ①

∴ n-1和n+1是奇数

∴ n是偶数，即n是2的倍数 ┈┈┈┈┈ ②

此外，假设n不是3的倍数，则得：n=3x+1 或 n=3x+2，

如果n=3x+1，则n-1=3x，此式存在n-1是偶数的可能，与①违背，故n≠3x+1；

如果n=3x+2，则n+1=3(x+1)，此式存在n+1是偶数的可能，与①违背，故n≠3x+2；

∴n不是3的倍数的假设不成立，故得n是3的倍数，又结合②得结论：

n是6的倍数。

public static boolean isPrime(int num) {
    if (num <= 3) {
    return num > 1;}// 不在6的倍数两侧的一定不是质数if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) {
    return false;}int sqrt = (int) Math.sqrt(num);for (int i = 5; i <= sqrt; i += 6) {
    if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) {
    return false;}}return true;
}

To be resolved problems:

• int 4 bytes (32 bits) - count primes among [0,$2^{31}$-1] and print
  them out.
• long long 8 bytes(64bits) - count primes among [0,$2^{64}$-1] and
  print them out.

Original AC Code：2021年6月4日11:00:40

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define M 100000
bool isprime( int  number)
{
    if(number==1) return false;if(number==2||number ==3)  return true;else{
    for(int i = 2  ; i <= sqrt(number) ; i ++){
    if(number%i == 0 ) return false;}}return true;
}
int main()
{
    int n;cin>>n;int j=0;int prime[M];int count = 0 ;memset(prime,0,M*sizeof(int));for(int i  = 1 ;i <n+1 ;i ++){
    if(isprime(i)){
    prime[j++]=i;// cout<<i<<endl;}}for(int k = 1;k < j ; k ++ ){
    if(prime[k]-prime[k-1]==2)count ++;}cout<<count<<endl;return 0 ;
}

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