洛谷 普及+/提高 P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

洛谷 普及+/提高 P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

思路： $ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ $?$ 必定存在$k$使得 $ax+by=1$，因为$a$和$b$必定是$gcd(a,b)$的倍数，所以$ax+by$也一定是$gcd(a,b)$的倍数。则假设$gcd(a,b)=d$ 那么存在数据$x$和$y$使得$ax+by=d$那么我们可以通过扩展欧几里得原理回溯出一组数据(构造)使得$gcd(a,b)=d$ 核心代码如下：

核心代码：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
    x=1,y=0;return ;}exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);
}

推导过程： 当$b=0$时构造$x=1,y=0$存在$1?a+0?b=gcd(a,b)$。假设已经求出后面两个的系数(在代码中则是$exgcd(b,amodb))$先继续往下递归得到下一个状态$gcd(b,amodb)$和一组$x^{\prime },y^{\prime }$使得$b?x^{\prime }+(amodb)?y^{\prime }=gcd$进行以下递推：

$1：x^{\prime }b+y^{\prime }(amodb)=d$
$2：x^{\prime }b+y^{\prime }(a??\frac{a}{b}??b)=d$
$3：x^{\prime }b+a{y}^{\prime }?b?\frac{a}{b}?y^{\prime }=d$
$4:a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }??\frac{a}{b}?y^{\prime })=d$
综上即回溯到上一层的推导过程。
因此：$x=y^{\prime }$ 且 $y=x^{\prime }??\frac{a}{b}?y^{\prime }$
那么最终就构造出一组$x,y$使得$ax+by=d$。由于本题必定有解。那么如何使得$x$是最小的正整数呢。易得$x$的所有解为：
$x=x0+kb$
$y=y0?ka$
那么最小的正整数$x$即$(x$%$b+b)$%$b$ 考虑负数情况。

• 参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
    x=1,y=0;return ;}exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);
}
int main(){
    int a,b;cin>>a>>b;int x,y;exgcd(a,b,x,y);cout<<(x%b+b)%b<<endl;return 0;
}