查寻第k小的数【JS实现】

  作者:zhanhailiang 日期:2012-12-17

问题：已知序列A[1…n]，及整数k, 1?k?n，试查找A中第k小的数

这个问题一般被称为顺序统计或选择问题。常规思路是对A[1…n]进行排序取第k的元素即可。但本文将介始一种算法来高效的获取第k小的元素。该算法思想和快速排序相同。在快速排序中，序列被支点分割成两个子序列，然后分别对这两个子序列递归排序。现在我们要先确定第k小的元素在哪个子序列中，然后只需对那个子序列递归排序即可。不必考虑其余的数。

/****************************************************************
算法：selection(A, n, k)
输入：A[1...n],k
输出：第k小的元素
    select(A, 1, n, k)
 
select(A, low, high, k)
    if low == high
        return low;
    else 
        split(X, low, high); // 用X[low]来分割数组X
        Let middle be the output of Partition
        if middle - low + 1 >= k then 
            return select(A, low, middle, k);
        else
            return select(A, middle + 1, high, k-(middle-low+1));
    end
****************************************************************/
function split(array, low, high) {
    var i = low;
    var x = array[low];
    for(var j = low + 1; j <= high; j++) {
        if(array[j] <= x) {
            i ++;
            if(i != j) {
                var temp = array[i];
                array[i] = array[j];
                array[j] = temp;
            }
        }
    }
 
    temp = array[low];
    array[low] = array[i];
    array[i] = temp;
    return [array, i];
}
 
function select(array, low, high, k) {
    if(low === high) {
        return low;
    } else {
        var result = split(array, low, high);
        array = result[0];
        var mid = result[1];
        if(mid - low + 1 >= k) {
            return select(array, low, mid, k);
        } else {
            return select(array, mid+1, high, k - (mid-low+1));
        }
    }
}
 
console.log(select([5,4,3,2,1,-1], 0, 5, 3));

以上算法很明显是一种理想的讨论，并没有考虑一些边缘的情况，如数组中第k小的元素存在多个，还有就是数组很短时完全可以直接通过排序来获取第k小的元素。故接下来我们将改进查找第k小元素的优化算法。

首先，若元素个数小于44，则算法使用直接的排序方法来计算第k小的元素。（44这个阈值的计算请参见算法设计技巧与分析）。下一步把n个元素划分成int(n/5)组，每组由5个元素组成，若n不是5的倍数，则剩余的元素单独构成一组，这应当不影响算法的执行。每组进行排序并取出它的中项即第3个元素。接着把这些中项序列中的中项元素记为mm（它是通过递归获取的）。算法的步骤6将数组A中的元素划分成3个数组A1,A2,A3，其中分别包含小于，等于和大于mm的元素。最后在第7步中，求出第k小的元素出现在3个数组中的哪一个，并根据测试结果，算法返回第k小的元素，或者在A1,A3上递归。

算法：select
输入：A[1...n]，整数k，1<=k<=n
输出：A的第k小的元素
    select(A, 1, n, k);

过程 select(A, low, high, k)
    1.p = high - low + 1;
    2.if p < 44 then 将A排序，返回A[k];
    3.令q=int(p/5)。将A分成q组，每组5个元素，若5不整除p，则剩余的元素单独一组
    4.将q组中每一组单独排序，找出中项，所有中项的集合为M
    5.mm = select(M, 1, q, int[q/2]) // mm为中项集合的中项
    6.将A{low...high}分成3组
        A1 = {a|a<mm};
        A2 = {a|a==mm};    
        A3 = {a|a>mm};
    7.case 
        |A1| >= k: return select(A1, 1, |A1|, k);
        |A1|+|A2| >= k: return mm;
        |A1|+|A2| < k: return select(A3, 1, |A3|, k-|A1|-|A2|);