2.游戏中的数学知识
? 在游戏的开发中，数学知识特别是其中的三角函数使用特别广泛
2.1 角度
?????? 在使用canvas来制作动画的过程中，我们使用到的角度都是以弧度为单位的,角度与弧度之间的换算单位如下：
radians=degrees*Math.PI/180
?
同时，在canvas中的坐标系是以右上角为原点(0,0),向左为x轴增加方向，向下为y轴增加方向。因此，需要特别注意canvas中角度是以顺时针为方向的，这与我们在生活中角度为逆时针相反。如下图：
在三角函数中，最常用的有三个，Math.cos,Math.sin与Math.atan2,注意计算反正切的有两个函数Math.atan与Math.atan2，后者需要传入对边dy与邻边dx来求得精确的角度（在[-180，180]中正切值相同的角度会有两个）。如下:
?可以看出，对D角使用Math.atan2来得到的值将为-153.43。因此，如果我们需要求得任意一点P(x,y)与原点连线的角度，使用Math.atan2(y,x)即可。
2.2 旋转
????? 在游戏开发中，我们经常会碰到对于画布中对象的旋转，即使用到context.rotate方法，而其角度大多数情况下通过上述的Math.atan2(dy,dx)获得。计算一个动点与一个静点之间的实时角度，假设静点为originX,originY，动点为x,y.? 则
α=Math.atan2(y-originY,x-originX)
?
如果给静点的rotation方法传入α后重绘，就会出现实时地让静点指向动点。如下即为一个随着鼠标移动而随时指向鼠标的箭头实现。
//箭头类
function Arrow(){
//定义位置属性
this.x=0;
this.y=0;
//定义旋转角度及缩放
this.rotation=0;
this.scaleX=1;
this.scaleY=1;
//定义填充色及画笔宽度
this.color='#00ff00';
this.lineWidth=1;
}
//绘制方法
Arrow.prototype.paint=function(context){
//保存场景
context.save();
//坐标系转换，缩放及旋转
context.translate(this.x,this.y);
context.scale(this.scaleX,this.scaleY);
context.rotate(this.rotation);
//定义填充色及画笔
context.fillStyle=this.color;
context.lineWidth=1;
//绘制箭头
context.beginPath();
context.moveTo(-50,-25);
context.lineTo(0,-25);
context.lineTo(0,-50);
context.lineTo(50,0);
context.lineTo(0,50);
context.lineTo(0,25);
context.lineTo(-50,25);
context.closePath();
//填充
context.fill();
if(context.lineWidth>0){
context.stroke();
}
context.restore();
}
?
2.3 波动
??? 正弦与余弦的曲线都是一条规律性的波动曲线，游戏中很多对象的往复运动就是按正余弦规律来进行的。使用canvas我们很容易就能绘制出一条正弦曲线。如下：
?
//绘制Sin曲线，给定起始点坐标及波动高与宽
function getSinWave(context,x,y,width,height){
context.save();
context.translate(x,y);
context.beginPath();
for(var i=0;i<360;i+=0.1){ context.lineTo(i*width,Math.sin(i*width*Math.PI/180)*height);
context.stroke();
context.restore();
}
?弹簧振子往复运动
??????? 对于物理学中的弹簧振子来说，其在一个坐标轴中的运动就是正余弦曲线在Y轴上的投影。如下为一个小球的运动。
//小球类，给定半径及填充色
function Ball(radius,color){
//设置球心及缩放，边缘线宽
this.x=0;
this.y=0;
this.radius=radius||20;
this.color=color||'#ffff00';
this.scaleX=1;
this.scaleY=1;
this.lineWidth=1;
}
//定义绘制方法
Ball.prototype.paint=function(context){
context.save();
//坐标转换
context.translate(this.x,this.y);
context.scale(this.scaleX,this.scaleY);
context.fillStyle=this.color;
context.lineWidth=this.lineWidth;
context.beginPath();
//绘制球
context.arc(0,0,this.radius,0,Math.PI*2,true);
context.closePath();
context.fill();
if(context.lineWidth>0){
context.stroke();
}
context.restore();
};
?如下为具体的呈现HTML文档，在utils.js中定义了window.requestAnimFrame的实现类（详见分享一).
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8" />
<title>Ball</title>
</head>
<body>
<canvas id="canvas" width="400" height="400"></canvas>
<script type="text/javascript" src="utils.js"></script>
<script type="text/javascript" src="ball.js"></script>
<script type="text/javascript">
window.onload=function(){
//获取canvas标签引用及canvas绘图上下文context
?var canvas=document.getElementById("canvas");
var context=canvas.getContext("2d");
//实例化小球
var ball=new Ball();
ball.x=canvas.width/2;
ball.y=canvas.height/2;
//初始化角度及角度增加系数
var angle=0;
var vr=1*Math.PI/180;
(function animationLoop(){
window.requestAnimFrame(animationLoop,canvas);
context.clearRect(0,0,canvas.width,canvas.height);
//以60帧的速度来绘制弹簧振子小球的运动
ball.x=canvas.width/2*(1-Math.cos(angle));
angle+=vr;
ball.paint(context);
})();
};
</script>
</body>
</html>
?
线性垂直波动
??? 如果给以正余弦方式垂直运动的对象加上一个横向的线速度，那就会动态地绘制出一个正余弦曲线。我们为ball添加vx,vy属性。
(function aniamtionLoop(){
window.requestAnimation(animationLoop,canvas);
context.clearRect(0,0,canvas.width,canvas.height);
ball.x+=ball.vx;
angle+=ball.vy*Math.PI/180;
ball.y=Math.cos(angle)*canvas.height/2;
ball.paint(context);
})();
?脉冲效果
?? ??? ?除了为对象在X与Y轴方向上添加正余弦变化的速度外，也可以为对象的其它属性，?? ?如尺寸添加一个按正弦变化的值，这将会产生一种脉冲效果。
ball.scaleX=ball.scaleY=Math.PI*angle/180;
?此处使用的是同一个变化量，其实也可以为不同的属性指定不同的角度。
?
圆周运动
?????? 对一个圆周上运动的对象来说，其任意时刻在圆周上的位置可以使用半径与三角函数来表示。即P(x,y)=P(r1*cosα,r2*sinα)。如果r1=r2，则运动对象的轨迹为一个正圆，否则其轨迹为一个椭圆。
ball.x=canvas.width/2+Math.cos(angle)*radiusX; ball.y=canvas.height/2+Math.sin(angle)*radiusY;
三角函数在动画中计算坐标，最常见的一定是使用余弦Math.cos来计算横坐标x,使用正弦Math.sin来计算纵坐标y。
?
勾股定理及距离计算
?????? 距离的计算相当常见，我们只需要在坐标系中使用勾股定理，即A(x0,y0)到B(x1,y1)之间的距离为
var dx=B.x-A.x; var dy=B.y-A.y; var distance=Math.sqrt(dx*dx+dy*dy);