softmax loss 系列记录

一、前言

最近看人脸识别方面的内容，遇到了好多个损失函数，结合所看的博客，在这里先大致记录下，方便查阅，暂不做太深的挖掘。

二、主要内容

2.1、Softmax loss

其公式如下：

其中，N表示训练数据的数量。$f_j$代表 class scores $f$的第j个元素。也是全连接层的输出，所以$f_j$可以写为：

用模的形式表示的话如下：

所以Softmax loss中$L_i$变为：

2.2、L-Softmax loss

即Softmax loss的改进，Large-Margin softmax loss，来自ICML2016的论文：Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural Networks

论文地址:(http://proceedings.mlr.press/v48/liud16.pdf)

L-Softmax loss公式（$L_i$）：

这里是论文对此公式定义做出的一个解释：

大致意思就是说$x$来自于class 1，若分类正确呢，肯定是：
$$W_1^{T}x>W_2^{T}x即\Vert W_1^T\Vert \Vert x\Vert cos({\theta }_1)>\Vert W_2^T\Vert \Vert x\Vert cos({\theta }_2)$$
但是呢，为使分类更明显点，作者决定用：
$$\Vert W_1^T\Vert \Vert x\Vert cos(m{\theta }_1)>\Vert W_2^T\Vert \Vert x\Vert cos({\theta }_2)$$

因为我们知道：
$$\Vert W_1^T\Vert \Vert x\Vert cos({\theta }_1)>\Vert W_1^T\Vert \Vert x\Vert cos(m{\theta }_1)>\Vert W_2^T\Vert \Vert x\Vert cos({\theta }_2)$$

其中，m 是一个正整数。

下图是从几何角度直观地看两种损失的差别，通过对比我们可以发现L-softmax loss最后学到的特征之间的分离程度比softmax loss的要明显得多。

2.3、Center loss

来自ECCV2016的一篇论文：A Discriminative Feature Learning Approach for Deep Face Recognition。
论文地址：http://ydwen.github.io/papers/WenECCV16.pdf
Center loss公式（$L_i$）是什么呢？简单讲就是在Softmax loss的基础上加了一项$L_C$。

$c_{y_i}$表示第$y_i$个类别的特征中心，$x_i$表示全连接层之前的特征，m表示mini-batch的大小，n表示类别数。
$L_C$梯度和$c_{y_i}$的更新公式如下：

具体的算法如下：

2.4、SphereFace

来自于CVPR2017的一篇论文：
SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition
论文地址：https://arxiv.org/abs/1704.08063
代码地址：https://github.com/wy1iu/sphereface
pytorch地址：https://github.com/clcarwin/sphereface_pytorch

提出基于 angular margin的angular softmax loss，之前的损失函数基本都基于 Euclidean margin。这里我们看到本文的作者和L-Softmax loss的作者是同一批，那么，A-Softmax loss(angular softmax loss)就是在L-Softmax loss的基础上，令$\Vert W\Vert =1$ 和 $b=0$。
这是Softmax loss：

于是，结合上面两个条件，便有了modified softmax loss：

然后又添加了和large margin softmax loss一样的角度参数angular margin，便得到了A-Softmax loss：

但是上述公式有个角度限制，即 $\theta$ 的范围为[0,π/m]。为了打破这个限制，便有了能够在CNN网络中优化的公式：

且最后证明得出：对于二分类，$m_{min}>2+\sqrt{3}$ ,对于多分类,$m_{min}>3$。文中作者m取的是4。

后来，又有了F-Norm SphereFace：

2.5、CosinFace

理解了SphereFace的angular softmax loss公式，这个也就好理解了。就是将$cos\theta$ 变为了 $cos\theta ?m$。CosinFace中的additive margin softmax loss公式如下（AM-Softmax）：

2.6、Arcface

将$cos\theta$ 变为了 $cos(\theta +m)$。

2.8、分类边界

可以看到，CosineFace的坐标轴是关于cos的，不是直接在角度空间。

三、结尾

差不多到这里就结束了。下面是学习时参考的一些博客。

参考:
损失函数改进之Large-Margin Softmax Loss
损失函数改进之Center Loss
人脸识别–SphereFace
SphereFace算法详解
ArcFace算法笔记