BUUCTF_Crypto_[MRCTF2020]Easy_RSA

[MRCTF2020]Easy_RSA

题目描述：

import sympy
from gmpy2 import gcd, invert
from random import randint
from Crypto.Util.number import getPrime, isPrime, getRandomNBitInteger, bytes_to_long, long_to_bytes
import base64from zlib import *
flag = b"MRCTF{XXXX}"
base = 65537def gen_prime(N):A = 0while 1:A = getPrime(N)if A % 8 == 5:breakreturn Adef gen_p():p = getPrime(1024)q = getPrime(1024)assert (p < q)n = p * qprint("P_n = ", n)F_n = (p - 1) * (q - 1)print("P_F_n = ", F_n)factor2 = 2021 * p + 2020 * qif factor2 < 0:factor2 = (-1) * factor2return sympy.nextprime(factor2)def gen_q():p = getPrime(1024)q = getPrime(1024)assert (p < q)n = p * qprint("Q_n = ", n)e = getRandomNBitInteger(53)F_n = (p - 1) * (q - 1)while gcd(e, F_n) != 1:e = getRandomNBitInteger(53)d = invert(e, F_n)print("Q_E_D = ", e * d)factor2 = 2021 * p - 2020 * qif factor2 < 0:factor2 = (-1) * factor2return sympy.nextprime(factor2)if __name__ == "__main__":_E = base_P = gen_p()_Q = gen_q()assert (gcd(_E, (_P - 1) * (_Q - 1)) == 1)_M = bytes_to_long(flag)_C = pow(_M, _E, _P * _Q)print("Ciphertext = ", _C)
''' P_n = 14057332139537395701238463644827948204030576528558543283405966933509944444681257521108769303999679955371474546213196051386802936343092965202519504111238572269823072199039812208100301939365080328518578704076769147484922508482686658959347725753762078590928561862163337382463252361958145933210306431342748775024336556028267742021320891681762543660468484018686865891073110757394154024833552558863671537491089957038648328973790692356014778420333896705595252711514117478072828880198506187667924020260600124717243067420876363980538994101929437978668709128652587073901337310278665778299513763593234951137512120572797739181693 P_F_n = 14057332139537395701238463644827948204030576528558543283405966933509944444681257521108769303999679955371474546213196051386802936343092965202519504111238572269823072199039812208100301939365080328518578704076769147484922508482686658959347725753762078590928561862163337382463252361958145933210306431342748775024099427363967321110127562039879018616082926935567951378185280882426903064598376668106616694623540074057210432790309571018778281723710994930151635857933293394780142192586806292968028305922173313521186946635709194350912242693822450297748434301924950358561859804256788098033426537956252964976682327991427626735740 Q_n = 20714298338160449749545360743688018842877274054540852096459485283936802341271363766157976112525034004319938054034934880860956966585051684483662535780621673316774842614701726445870630109196016676725183412879870463432277629916669130494040403733295593655306104176367902352484367520262917943100467697540593925707162162616635533550262718808746254599456286578409187895171015796991910123804529825519519278388910483133813330902530160448972926096083990208243274548561238253002789474920730760001104048093295680593033327818821255300893423412192265814418546134015557579236219461780344469127987669565138930308525189944897421753947 Q_E_D = 100772079222298134586116156850742817855408127716962891929259868746672572602333918958075582671752493618259518286336122772703330183037221105058298653490794337885098499073583821832532798309513538383175233429533467348390389323225198805294950484802068148590902907221150968539067980432831310376368202773212266320112670699737501054831646286585142281419237572222713975646843555024731855688573834108711874406149540078253774349708158063055754932812675786123700768288048445326199880983717504538825498103789304873682191053050366806825802602658674268440844577955499368404019114913934477160428428662847012289516655310680119638600315228284298935201 Ciphertext = 40855937355228438525361161524441274634175356845950884889338630813182607485910094677909779126550263304194796000904384775495000943424070396334435810126536165332565417336797036611773382728344687175253081047586602838685027428292621557914514629024324794275772522013126464926990620140406412999485728750385876868115091735425577555027394033416643032644774339644654011686716639760512353355719065795222201167219831780961308225780478482467294410828543488412258764446494815238766185728454416691898859462532083437213793104823759147317613637881419787581920745151430394526712790608442960106537539121880514269830696341737507717448946962021 '''

分析程序逻辑：

分别有两个生成P和Q的函数，里面都嵌套了RSA，返回的是p和q的表达式作为P或者Q；

关于P的函数：

已知$n$和$fai(n)$ ；求p和q；$fai(n)=k?n?k?(p+q)+1$

所以我们可以知道$(p+q)$的值

再通过平方式构造$(p?q)$的平方；然后开方

得到p和q；求Q的函数同理；

只是Q的函数已知的是$e?d$；推一下就可以了

$e?d?1=k?fai(n)$

$fai(n)=n?(p+q)+1$

联立得到：

$e?d?1=k?(n?(p+q)+1)$

目的是求$k$进而求得$fai(n)$

$\frac{ed-1}{n}=k+\frac{k(1-(p+q))}{n} $

显然$k?(1?(p+q))<n$

而$1?(p+q)<0$；

所以$\frac{k?(1?(p+q))}{n}=?1$

所以$k=\frac{e?d?1}{n}+1$

$fai(n)=\frac{e?d?1}{k}$

故得解；注意p是小于q的最后需要判断一下；因为求factor的时候两者不能互调

代码实现：

import gmpy2,sympy
from Crypto.Util.number import *
P_n =  14057332139537395701238463644827948204030576528558543283405966933509944444681257521108769303999679955371474546213196051386802936343092965202519504111238572269823072199039812208100301939365080328518578704076769147484922508482686658959347725753762078590928561862163337382463252361958145933210306431342748775024336556028267742021320891681762543660468484018686865891073110757394154024833552558863671537491089957038648328973790692356014778420333896705595252711514117478072828880198506187667924020260600124717243067420876363980538994101929437978668709128652587073901337310278665778299513763593234951137512120572797739181693
P_F_n =  14057332139537395701238463644827948204030576528558543283405966933509944444681257521108769303999679955371474546213196051386802936343092965202519504111238572269823072199039812208100301939365080328518578704076769147484922508482686658959347725753762078590928561862163337382463252361958145933210306431342748775024099427363967321110127562039879018616082926935567951378185280882426903064598376668106616694623540074057210432790309571018778281723710994930151635857933293394780142192586806292968028305922173313521186946635709194350912242693822450297748434301924950358561859804256788098033426537956252964976682327991427626735740
Q_n =  20714298338160449749545360743688018842877274054540852096459485283936802341271363766157976112525034004319938054034934880860956966585051684483662535780621673316774842614701726445870630109196016676725183412879870463432277629916669130494040403733295593655306104176367902352484367520262917943100467697540593925707162162616635533550262718808746254599456286578409187895171015796991910123804529825519519278388910483133813330902530160448972926096083990208243274548561238253002789474920730760001104048093295680593033327818821255300893423412192265814418546134015557579236219461780344469127987669565138930308525189944897421753947
Q_E_D =  100772079222298134586116156850742817855408127716962891929259868746672572602333918958075582671752493618259518286336122772703330183037221105058298653490794337885098499073583821832532798309513538383175233429533467348390389323225198805294950484802068148590902907221150968539067980432831310376368202773212266320112670699737501054831646286585142281419237572222713975646843555024731855688573834108711874406149540078253774349708158063055754932812675786123700768288048445326199880983717504538825498103789304873682191053050366806825802602658674268440844577955499368404019114913934477160428428662847012289516655310680119638600315228284298935201
Ciphertext =  40855937355228438525361161524441274634175356845950884889338630813182607485910094677909779126550263304194796000904384775495000943424070396334435810126536165332565417336797036611773382728344687175253081047586602838685027428292621557914514629024324794275772522013126464926990620140406412999485728750385876868115091735425577555027394033416643032644774339644654011686716639760512353355719065795222201167219831780961308225780478482467294410828543488412258764446494815238766185728454416691898859462532083437213793104823759147317613637881419787581920745151430394526712790608442960106537539121880514269830696341737507717448946962021
e = 65537def get_fac(n,fai_n):p_q_sum = n - fai_n + 1difference_square = p_q_sum**2 - 4*ndifference = gmpy2.iroot(difference_square,2)[0]p = (p_q_sum + difference) // 2q = p_q_sum - pif q < p:p,q = q,preturn p,qk = (Q_E_D - 1) // Q_n + 1 
Q_fai_n = (Q_E_D - 1) // k
P_p,P_q = get_fac(P_n,P_F_n)
Q_p,Q_q = get_fac(Q_n,Q_fai_n)
factor1 = 2021*P_p + 2020*P_q
if factor1 < 0:factor1 = (-1) * factor1
P = sympy.nextprime(factor1)
factor2 =  2021*Q_p - 2020*Q_q 
if factor2 < 0:factor2 = (-1) * factor2
Q = sympy.nextprime(factor2)
fai_n = (P-1)*(Q-1)
D = gmpy2.invert(e,fai_n)
M = pow(Ciphertext,D,P*Q)
print(long_to_bytes(M))

思路来源：MRCTF2020]Easy_RSA_前方是否可导？的博客-CSDN博客