Crypto_[羊城杯 2020]RRRRRRRSA

[羊城杯 2020]RRRRRRRSA

题目描述

import hashlib
import sympy
from Crypto.Util.number import *flag = 'GWHT{************}'flag1 = flag[:19].encode()
flag2 = flag[19:].encode()
assert(len(flag) == 38)P1 = getPrime(1038)
P2 = sympy.nextprime(P1)
assert(P2 - P1 < 1000)Q1 = getPrime(512)
Q2 = sympy.nextprime(Q1)N1 = P1 * P1 * Q1
N2 = P2 * P2 * Q2E1 = getPrime(1024)
E2 = sympy.nextprime(E1)m1 = bytes_to_long(flag1)
m2 = bytes_to_long(flag2)c1 = pow(m1, E1, N1)
c2 = pow(m2, E2, N2)output = open('secret', 'w')
output.write('N1=' + str(N1) + '\n')
output.write('c1=' + str(c1) + '\n')
output.write('E1=' + str(E1) + '\n')
output.write('N2=' + str(N2) + '\n')
output.write('c2=' + str(c2) + '\n')
output.write('E2=' + str(E2) + '\n')
output.close()

分析程序

感觉是正常的RSA的加密过程

$N1=p1?p1?q1$

$N2=p2?p2?q2$

注意条件：

$p1$与$p2$是相邻的素数，且两者差值小于1000

$q1$与$q2$也是相邻的素数

换而言之，$p1/p2\approx 1$

看到两个数的比例接近于1，这里有一个相关比例接近的攻击方式维纳攻击

---

传统的维纳攻击

$e?d\equiv 1(modfai(n))$

$e?d?1=k?fai(n)$

等式两边同时除以$d?fai(n)$

得到

$\frac{e}{fai(n)}?\frac{k}{d}=\frac{1}{d?fai(n)}$

而$fai(n)\approx N$

故$\frac{e}{N}?\frac{k}{d}=\frac{1}{d?N}$

显然$\frac{1}{d?N}\approx 0$

又公钥$(e,N)$已知

根据维纳攻击的相关定理：

Continued Fractions’Convergents

Let $y=r/s$? be any rational such that $|r/s?x|<1/(2?s^2)$? . Then $y$ is equal to one of the convergents of $x,i.e$. $y=y_i$ for some i ∈ { 1 , . . . , n } i ∈ \{1,...,n\} i∈{ 1,...,n}?.

也就是说，$\frac{e}{N}$?的连分数展开式的收敛到某一位会等于$\frac{k}{d}$?

当且仅当$|\frac{e}{N}?\frac{k}{d}|<\frac{1}{2?d^2}$

---

从上面的“当且仅当”的条件我们对比出

这道题显然$e>N$?所以$\frac{e}{N}?\frac{k}{d}$?不能很肯定地说一定满足条件

本题应用的维纳攻击方式

但是这里我们可以用另外一个相近比例

$\frac{N1}{N2}\approx \frac{Q1}{Q2}$??

那为什么我们不用$\frac{N1}{N2}\approx \frac{P1}{P2}$?呢

我们可以来比较一下

$\frac{N1}{N2}=\frac{P{1}^2}{P{2}^2}?\frac{Q1}{Q2}$

• 如果我们使用$\frac{N1}{N2}\approx \frac{Q1}{Q2}$?

那么可以写做$\frac{N1}{N2}=\frac{P{1}^2}{P{2}^2}?\frac{Q1}{Q2}$

这就意味着$\frac{N1}{N2}$与$\frac{Q1}{Q2}$的比值为$(\frac{P1}{P2}{)}^2$

且$P1$与$P2$的差值小于1000

• 如果使用$\frac{N1}{N2}\approx \frac{P1}{P2}$?

那么写作$\frac{N1}{N2}=\frac{P1}{P2}?\frac{Q1}{Q2}?\frac{P1}{P2}$

那么$\frac{N1}{N2}$与$\frac{P1}{P2}$的比值为$\frac{P1}{P2}?\frac{Q1}{Q2}$?

• 显然当两者的比值越小时，两者的差值越小

由已知条件（$P2?P1<1000$）我们可以知道$(\frac{P1}{P2}{)}^2$很可能小于（不能确定）$\frac{P1}{P2}?\frac{Q1}{Q2}$

所以我们优先选择$\frac{N1}{N2}\approx \frac{Q1}{Q2}$

• 另外还有一点

选择$\frac{N1}{N2}\approx \frac{P1}{P2}$可以进行维纳攻击的前提条件是：

$|\frac{N1}{N2}?\frac{P1}{P2}|<\frac{1}{2?P_2^2}$

而选择$\frac{N1}{N2}\approx \frac{Q1}{Q2}$?可以进行维纳攻击的前提条件是：

$|\frac{N1}{N2}?\frac{Q1}{Q2}|<\frac{1}{2?Q_2^2}$

通过看加密程序我们可以知道

Q1 = getPrime(512)
Q2 = sympy.nextprime(Q1)
P1 = getPrime(1038)
P2 = sympy.nextprime(P1)

显然选择$\frac{N1}{N2}\approx \frac{P1}{P2}$的前提条件更苛刻（$\frac{1}{2?P_2^2}<\frac{1}{2?Q_2^2}$）

已知$N1,N2$

把它换做连分数形式

这里应用扩展欧几里得算法和连分数之间的联系

$x=a_1?y+r_1$?????

$x=a_2?r_1+r_2$??

$r_1=a_3?r_2+r_3$?

…

连分数：

$x/y=a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+...}}$??

相信大家已经看出两者的联系了

这里开始想办法使用python实现将分数转换为连分数，并且分别输出分子，分母

先使用扩展欧几里得算法获得每次辗转相除法得到的$a_1,a_2,a_3...$

def exgcd(x,y):result = []if y > x:x,y = y,xwhile y:result.append(x//y)x,y = y,x % yreturn result

然后使用$a_1,a_2,a_3...$????形成$x/y$????的连分数

for n in range(1,len(result)):temp = result[:n]num = 0 # 分子初始化deno = 1 # 分母初始化for i in temp[::-1]:num,deno = deno,deno*i + num

这里求解分子，分母的过程显得有点点难以理解，可以自己随便找两个例子推一推。

再将这里第二个for循环中赋值得到的分子和分母去进行下一步比较：

类比传统的维纳攻击中的判断条件$(e?d?1)\%k==0$

当$N1\%deno=0$?且$deno?=1$?即可认定这个$deno$?为$Q1$?

得到了$Q1$?后面的就是正常的RSA求解了

代码实现

from Crypto.Util.number import *
import gmpy2,sympyN1=60143104944034567859993561862949071559877219267755259679749062284763163484947626697494729046430386559610613113754453726683312513915610558734802079868190554644983911078936369464590301246394586190666760362763580192139772729890492729488892169933099057105842090125200369295070365451134781912223048179092058016446222199742919885472867511334714233086339832790286482634562102936600597781342756061479024744312357407750731307860842457299116947352106025529309727703385914891200109853084742321655388368371397596144557614128458065859276522963419738435137978069417053712567764148183279165963454266011754149684758060746773409666706463583389316772088889398359242197165140562147489286818190852679930372669254697353483887004105934649944725189954685412228899457155711301864163839538810653626724347
c1=55094296873556883585060020895253176070835143350249581136609315815308788255684072804968957510292559743192424646169207794748893753882418256401223641287546922358162629295622258913168323493447075410872354874300793298956869374606043622559405978242734950156459436487837698668489891733875650048466360950142617732135781244969524095348835624828008115829566644654403962285001724209210887446203934276651265377137788183939798543755386888532680013170540716736656670269251318800501517579803401154996881233025210176293554542024052540093890387437964747460765498713092018160196637928204190194154199389276666685436565665236397481709703644555328705818892269499380797044554054118656321389474821224725533693520856047736578402581854165941599254178019515615183102894716647680969742744705218868455450832
E1=125932919717342481428108392434488550259190856475011752106073050593074410065655587870702051419898088541590032209854048032649625269856337901048406066968337289491951404384300466543616578679539808215698754491076340386697518948419895268049696498272031094236309803803729823608854215226233796069683774155739820423103
N2=60143104944034567859993561862949071559877219267755259679749062284763163484947626697494729046430386559610613113754453726683312513915610558734802079868195633647431732875392121458684331843306730889424418620069322578265236351407591029338519809538995249896905137642342435659572917714183543305243715664380787797562011006398730320980994747939791561885622949912698246701769321430325902912003041678774440704056597862093530981040696872522868921139041247362592257285423948870944137019745161211585845927019259709501237550818918272189606436413992759328318871765171844153527424347985462767028135376552302463861324408178183842139330244906606776359050482977256728910278687996106152971028878653123533559760167711270265171441623056873903669918694259043580017081671349232051870716493557434517579121
c2=39328446140156257571484184713861319722905864197556720730852773059147902283123252767651430278357950872626778348596897711320942449693270603776870301102881405303651558719085454281142395652056217241751656631812580544180434349840236919765433122389116860827593711593732385562328255759509355298662361508611531972386995239908513273236239858854586845849686865360780290350287139092143587037396801704351692736985955152935601987758859759421886670907735120137698039900161327397951758852875291442188850946273771733011504922325622240838288097946309825051094566685479503461938502373520983684296658971700922069426788236476575236189040102848418547634290214175167767431475003216056701094275899211419979340802711684989710130215926526387138538819531199810841475218142606691152928236362534181622201347
E2=125932919717342481428108392434488550259190856475011752106073050593074410065655587870702051419898088541590032209854048032649625269856337901048406066968337289491951404384300466543616578679539808215698754491076340386697518948419895268049696498272031094236309803803729823608854215226233796069683774155739820425393def exgcd(x,y):mult = []if y > x:x,y = y,xwhile y:mult.append(x//y)x,y = y,x % yreturn multmult = exgcd(N2,N1) # N1<N2for n in range(len(mult)):temp = mult[:n]num = 0 # 分子deno = 1 # 分母for x in temp[::-1]:num,deno = deno, deno * x + numif N2 % deno == 0 and deno != 1:Q2 = denoprint(Q2)break
Q1 = sympy.prevprime(Q2)
P1 = gmpy2.iroot(N1 // Q1,2)[0]
P2 = gmpy2.iroot(N2 // Q2,2)[0]
fai_n1 = (P1-1)*P1*(Q1-1)
fai_n2 = (P2-1)*P2*(Q2-1)
d1 = gmpy2.invert(E1,fai_n1)
d2 = gmpy2.invert(E2,fai_n2)
m1 = pow(c1,d1,N1)
m2 = pow(c2,d2,N2)
print(bytes.decode(long_to_bytes(m1)),end="")
print(bytes.decode(long_to_bytes(m2))) 

参考文章

Wiener’s Attack Ride(维纳攻击法驾驭) - 知乎 (zhihu.com)

(60条消息) 密码学硬核笔记——扩展维纳攻击_Gm1y’s Blog-CSDN博客_扩展维纳攻击

(60条消息) RSA攻击之wiener攻击_oumeixi_wjp的专栏-CSDN博客_wiener攻击

LNCS 3386 - Converse Results to the Wiener Attack on RSA (springer.com)