Crypto_[watevrCTF 2019]Swedish RSA

[watevrCTF 2019]Swedish RSA

这道题有几个知识点：有限域下的RSA加密，有限域下多项式的欧拉函数，快速幂算法

题目描述

flag = bytearray(raw_input())
flag = list(flag)
length = len(flag)
bits = 16## Prime for Finite Field.
p = random_prime(2^bits-1, False, 2^(bits-1))file_out = open("downloads/polynomial_rsa.txt", "w")
file_out.write("Prime: " + str(p) + "\n")## Univariate Polynomial Ring in y over Finite Field of size p
R.<y> = PolynomialRing(GF(p))## Analogous to the primes in Z
def gen_irreducable_poly(deg):while True:out = R.random_element(degree=deg)if out.is_irreducible():return out## Polynomial "primes"
P = gen_irreducable_poly(ZZ.random_element(length, 2*length))
Q = gen_irreducable_poly(ZZ.random_element(length, 2*length))## Public exponent key
e = 65537## Modulus
N = P*Q
file_out.write("Modulus: " + str(N) + "\n")## Univariate Quotient Polynomial Ring in x over Finite Field of size 659 with modulus N(x)
S.<x> = R.quotient(N)## Encrypt
m = S(flag)
c = m^efile_out.write("Ciphertext: " + str(c))
file_out.close()

程序分析

很正常的RSA加密过程，但是是在有限域GF(p)上进行的

总而言之，这道题的所有操作都是对多项式进行的，而不是整数，所以诸如m=pow(c,d,n)的是不能用的，因为这样会把本来该看作多项式的看作整数进行运算

这里$p,P,Q,Modulus,e$均已知

既然没给任何$P,Q$的有用信息，首先肯定是先试试直接对模数Modulus进行分解

sage自带的因式分解的函数Modulus.factor()

发现可以直接分解成两个多项式

sage: n.factor()[0][0]
# y^65 + 39688*y^64 + 22199*y^63 + 41942*y^62 + 7803*y^61 + 19710*y^60 + 14794*y^59 + 41388*y^58 + 2418*y^57 + 19208*y^56 + 39941*y^55 + 36392*y^54 + 19813*y^53 + 33864*y^52 + 29099*y^51 + 15484*y^50 + 27185*y^49 + 27721*y^48 + 31508*y^47 + 19404*y^46 + 10134*y^45 + 43481*y^44 + 3899*y^43 + 32849*y^42 + 3534*y^41 + 32086*y^40 + 14221*y^39 + 42982*y^38 + 1403*y^37 + 1619*y^36 + 36054*y^35 + 33615*y^34 + 6628*y^33 + 31709*y^32 + 6968*y^31 + 28517*y^30 + 12938*y^29 + 21124*y^28 + 10400*y^27 + 28889*y^26 + 7273*y^25 + 36442*y^24 + 14935*y^23 + 29365*y^22 + 4869*y^21 + 43562*y^20 + 6435*y^19 + 4403*y^18 + 32311*y^17 + 7575*y^16 + 28199*y^15 + 28065*y^14 + 23870*y^13 + 37314*y^12 + 15299*y^11 + 7082*y^10 + 36230*y^9 + 18367*y^8 + 12531*y^7 + 25906*y^6 + 26878*y^5 + 43073*y^4 + 11582*y^3 + 4482*y^2 + 35044*y + 31388
sage: n.factor()[1][0]
# y^112 + 31097*y^111 + 15815*y^110 + 17170*y^109 + 43684*y^108 + 16873*y^107 + 17269*y^106 + 10853*y^105 + 10690*y^104 + 24864*y^103 + 10224*y^102 + 28704*y^101 + 16049*y^100 + 1154*y^99 + 40034*y^98 + 29922*y^97 + 27404*y^96 + 32514*y^95 + 40962*y^94 + 32858*y^93 + 36590*y^92 + 41302*y^91 + 20803*y^90 + 43521*y^89 + 13746*y^88 + 19857*y^87 + 21539*y^86 + 36888*y^85 + 16032*y^84 + 35825*y^83 + 24705*y^82 + 31143*y^81 + 22088*y^80 + 6686*y^79 + 37947*y^78 + 5661*y^77 + 29405*y^76 + 36071*y^75 + 35492*y^74 + 28985*y^73 + 36015*y^72 + 24095*y^71 + 34920*y^70 + 6615*y^69 + 9606*y^68 + 4255*y^67 + 22981*y^66 + 3910*y^65 + 23897*y^64 + 22711*y^63 + 23350*y^62 + 7969*y^61 + 8558*y^60 + 8001*y^59 + 8431*y^58 + 3314*y^57 + 23364*y^56 + 39391*y^55 + 32722*y^54 + 2543*y^53 + 22196*y^52 + 24189*y^51 + 19420*y^50 + 10649*y^49 + 19070*y^48 + 23863*y^47 + 19597*y^46 + 39699*y^45 + 7620*y^44 + 25067*y^43 + 29912*y^42 + 14998*y^41 + 14492*y^40 + 31322*y^39 + 43145*y^38 + 32006*y^37 + 38976*y^36 + 32534*y^35 + 6972*y^34 + 37351*y^33 + 30104*y^32 + 6032*y^31 + 33729*y^30 + 27110*y^29 + 5268*y^28 + 2974*y^27 + 2985*y^26 + 31610*y^25 + 28364*y^24 + 34924*y^23 + 17414*y^22 + 28813*y^21 + 43680*y^20 + 32175*y^19 + 18248*y^18 + 25171*y^17 + 31185*y^16 + 30125*y^15 + 36836*y^14 + 7218*y^13 + 11292*y^12 + 31123*y^11 + 40360*y^10 + 34093*y^9 + 39606*y^8 + 2788*y^7 + 27277*y^6 + 21835*y^5 + 1331*y^4 + 32614*y^3 + 25020*y^2 + 20981*y + 12108

接下来按着RSA的求解过程，求解$d$

也就是$P，Q$的欧拉函数$?()$?

由于这里是多项式，不可能直接(P-1)*(Q-1)

从欧拉函数的定义来看，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目

那么在有限域GF中，多项式的欧拉函数应该是小于多项式次数且不能除以该多项式的多项式数目

那么这里的多项式P，Q已经是不可约多项式了，所以不能除以P，Q的多项式的数目有$p^k?1$?；其中$k$?为多项式的次数，$p$为该有限域的元素个数

所以这里$?(P)=p^{k_1}?1,?(Q)=p^{k_2}?1$

得到的结果都是整数，然后直接求逆元求得$d$

然后这里不能$m=pow(c,d,n)$，因为$c$是一个多项式，而$d$是整数，直接这样写ta的意义并不是在有限域$GF(p)$上的

试了试直接求解，像这样

def c_squre(c):c = c * c % nreturn c
for _ in range(d//2): # 只是试一试，很显然d不一定被2整除c = c_squre(c)
print(c)

然后发现sagemath似乎要算很久的样子

那么使用快速幂算法，

下面是百度百科给出的例子，方便理解一些

$3^{10}=3?3?3?3?3?3?3?3?3?3$?

$3^{10}=(3?3)?(3?3)?(3?3)?(3?3)?(3?3)$

$3^{10}=(3?3{)}^5$

$3^{10}=9^5$

R.<y> = PolynomialRing(GF(43753))
result = R("1") 
while True:if d % 2 == 1:# 如果d为奇数的话，很显然不能直接进行快速幂，那么就把多余的一项先乘入result中，在把c继续进行快速幂算法result = result * c % nd = d - 1c = (c * c) % nd = d / 2if d == 0:break
print(c)

最后返回的$c$实际上就是$flag$

print(c)
# 125*y^62 + 111*y^61 + 114*y^60 + 117*y^59 + 53*y^58 + 51*y^57 + 51*y^56 + 100*y^55 + 106*y^54 + 110*y^53 + 102*y^52 + 106*y^51 + 100*y^50 + 104*y^49 + 101*y^48 + 117*y^47 + 52*y^46 + 52*y^45 + 57*y^44 + 48*y^43 + 50*y^42 + 107*y^41 + 35*y^40 + 101*y^39 + 114*y^38 + 117*y^37 + 99*y^36 + 101*y^35 + 115*y^34 + 110*y^33 + 105*y^32 + 95*y^31 + 116*y^30 + 117*y^29 + 98*y^28 + 95*y^27 + 110*y^26 + 117*y^25 + 102*y^24 + 95*y^23 + 115*y^22 + 105*y^21 + 95*y^20 + 97*y^19 + 101*y^18 + 107*y^17 + 105*y^16 + 95*y^15 + 109*y^14 + 111*y^13 + 114*y^12 + 102*y^11 + 95*y^10 + 65*y^9 + 83*y^8 + 82*y^7 + 123*y^6 + 114*y^5 + 118*y^4 + 101*y^3 + 116*y^2 + 97*y + 119

每一项系数多半就是flag的ASCII码值，提取出来

import re
# result = str(temp_result)
result = "125*y^62 + 111*y^61 + 114*y^60 + 117*y^59 + 53*y^58 + 51*y^57 + 51*y^56 + 100*y^55 + 106*y^54 + 110*y^53 + 102*y^52 + 106*y^51 + 100*y^50 + 104*y^49 + 101*y^48 + 117*y^47 + 52*y^46 + 52*y^45 + 57*y^44 + 48*y^43 + 50*y^42 + 107*y^41 + 35*y^40 + 101*y^39 + 114*y^38 + 117*y^37 + 99*y^36 + 101*y^35 + 115*y^34 + 110*y^33 + 105*y^32 + 95*y^31 + 116*y^30 + 117*y^29 + 98*y^28 + 95*y^27 + 110*y^26 + 117*y^25 + 102*y^24 + 95*y^23 + 115*y^22 + 105*y^21 + 95*y^20 + 97*y^19 + 101*y^18 + 107*y^17 + 105*y^16 + 95*y^15 + 109*y^14 + 111*y^13 + 114*y^12 + 102*y^11 + 95*y^10 + 65*y^9 + 83*y^8 + 82*y^7 + 123*y^6 + 114*y^5 + 118*y^4 + 101*y^3 + 116*y^2 + 97*y + 119"li_result = re.findall(r'\d+',result)
li_flag = []
# print(li_result)
for i in range(0,len(li_result),2):li_flag.append(li_result[i])
li_flag.append("119")
# print(li_flag)
for i in li_flag[::-1]:print(chr(int(i)),end="")

我这里用的正则匹配，有点点简陋，当然方法多种多样，只要提取出来就行

代码实现

# sageR.<y> = PolynomialRing(GF(43753))
n = R("34036*y^177 + 23068*y^176 + 13147*y^175 + 36344*y^174 + 10045*y^173 + 41049*y^172 + 17786*y^171 + 16601*y^170 + 7929*y^169 + 37570*y^168 + 990*y^167 + 9622*y^166 + 39273*y^165 + 35284*y^164 + 15632*y^163 + 18850*y^162 + 8800*y^161 + 33148*y^160 + 12147*y^159 + 40487*y^158 + 6407*y^157 + 34111*y^156 + 8446*y^155 + 21908*y^154 + 16812*y^153 + 40624*y^152 + 43506*y^151 + 39116*y^150 + 33011*y^149 + 23914*y^148 + 2210*y^147 + 23196*y^146 + 43359*y^145 + 34455*y^144 + 17684*y^143 + 25262*y^142 + 982*y^141 + 24015*y^140 + 27968*y^139 + 37463*y^138 + 10667*y^137 + 39519*y^136 + 31176*y^135 + 27520*y^134 + 32118*y^133 + 8333*y^132 + 38945*y^131 + 34713*y^130 + 1107*y^129 + 43604*y^128 + 4433*y^127 + 18110*y^126 + 17658*y^125 + 32354*y^124 + 3219*y^123 + 40238*y^122 + 10439*y^121 + 3669*y^120 + 8713*y^119 + 21027*y^118 + 29480*y^117 + 5477*y^116 + 24332*y^115 + 43480*y^114 + 33406*y^113 + 43121*y^112 + 1114*y^111 + 17198*y^110 + 22829*y^109 + 24424*y^108 + 16523*y^107 + 20424*y^106 + 36206*y^105 + 41849*y^104 + 3584*y^103 + 26500*y^102 + 31897*y^101 + 34640*y^100 + 27449*y^99 + 30962*y^98 + 41434*y^97 + 22125*y^96 + 24314*y^95 + 3944*y^94 + 18400*y^93 + 38476*y^92 + 28904*y^91 + 27936*y^90 + 41867*y^89 + 25573*y^88 + 25659*y^87 + 33443*y^86 + 18435*y^85 + 5934*y^84 + 38030*y^83 + 17563*y^82 + 24086*y^81 + 36782*y^80 + 20922*y^79 + 38933*y^78 + 23448*y^77 + 10599*y^76 + 7156*y^75 + 29044*y^74 + 23605*y^73 + 7657*y^72 + 28200*y^71 + 2431*y^70 + 3860*y^69 + 23259*y^68 + 14590*y^67 + 33631*y^66 + 15673*y^65 + 36049*y^64 + 29728*y^63 + 22413*y^62 + 18602*y^61 + 18557*y^60 + 23505*y^59 + 17642*y^58 + 12595*y^57 + 17255*y^56 + 15316*y^55 + 8948*y^54 + 38*y^53 + 40329*y^52 + 9823*y^51 + 5798*y^50 + 6379*y^49 + 8662*y^48 + 34640*y^47 + 38321*y^46 + 18760*y^45 + 13135*y^44 + 15926*y^43 + 34952*y^42 + 28940*y^41 + 13558*y^40 + 42579*y^39 + 38015*y^38 + 33788*y^37 + 12381*y^36 + 195*y^35 + 13709*y^34 + 31500*y^33 + 32994*y^32 + 30486*y^31 + 40414*y^30 + 2578*y^29 + 30525*y^28 + 43067*y^27 + 6195*y^26 + 36288*y^25 + 23236*y^24 + 21493*y^23 + 15808*y^22 + 34500*y^21 + 6390*y^20 + 42994*y^19 + 42151*y^18 + 19248*y^17 + 19291*y^16 + 8124*y^15 + 40161*y^14 + 24726*y^13 + 31874*y^12 + 30272*y^11 + 30761*y^10 + 2296*y^9 + 11017*y^8 + 16559*y^7 + 28949*y^6 + 40499*y^5 + 22377*y^4 + 33628*y^3 + 30598*y^2 + 4386*y + 23814")
c = R("5209*y^176 + 10881*y^175 + 31096*y^174 + 23354*y^173 + 28337*y^172 + 15982*y^171 + 13515*y^170 + 21641*y^169 + 10254*y^168 + 34588*y^167 + 27434*y^166 + 29552*y^165 + 7105*y^164 + 22604*y^163 + 41253*y^162 + 42675*y^161 + 21153*y^160 + 32838*y^159 + 34391*y^158 + 832*y^157 + 720*y^156 + 22883*y^155 + 19236*y^154 + 33772*y^153 + 5020*y^152 + 17943*y^151 + 26967*y^150 + 30847*y^149 + 10306*y^148 + 33966*y^147 + 43255*y^146 + 20342*y^145 + 4474*y^144 + 3490*y^143 + 38033*y^142 + 11224*y^141 + 30565*y^140 + 31967*y^139 + 32382*y^138 + 9759*y^137 + 1030*y^136 + 32122*y^135 + 42614*y^134 + 14280*y^133 + 16533*y^132 + 32676*y^131 + 43070*y^130 + 36009*y^129 + 28497*y^128 + 2940*y^127 + 9747*y^126 + 22758*y^125 + 16615*y^124 + 14086*y^123 + 13038*y^122 + 39603*y^121 + 36260*y^120 + 32502*y^119 + 17619*y^118 + 17700*y^117 + 15083*y^116 + 11311*y^115 + 36496*y^114 + 1300*y^113 + 13601*y^112 + 43425*y^111 + 10376*y^110 + 11551*y^109 + 13684*y^108 + 14955*y^107 + 6661*y^106 + 12674*y^105 + 21534*y^104 + 32132*y^103 + 34135*y^102 + 43684*y^101 + 837*y^100 + 29311*y^99 + 4849*y^98 + 26632*y^97 + 26662*y^96 + 10159*y^95 + 32657*y^94 + 12149*y^93 + 17858*y^92 + 35805*y^91 + 19391*y^90 + 30884*y^89 + 42039*y^88 + 17292*y^87 + 4694*y^86 + 1497*y^85 + 1744*y^84 + 31071*y^83 + 26246*y^82 + 24402*y^81 + 22068*y^80 + 39263*y^79 + 23703*y^78 + 21484*y^77 + 12241*y^76 + 28821*y^75 + 32886*y^74 + 43075*y^73 + 35741*y^72 + 19936*y^71 + 37219*y^70 + 33411*y^69 + 8301*y^68 + 12949*y^67 + 28611*y^66 + 42654*y^65 + 6910*y^64 + 18523*y^63 + 31144*y^62 + 21398*y^61 + 36298*y^60 + 27158*y^59 + 918*y^58 + 38601*y^57 + 4269*y^56 + 5699*y^55 + 36444*y^54 + 34791*y^53 + 37978*y^52 + 32481*y^51 + 8039*y^50 + 11012*y^49 + 11454*y^48 + 30450*y^47 + 1381*y^46 + 32403*y^45 + 8202*y^44 + 8404*y^43 + 37648*y^42 + 43696*y^41 + 34237*y^40 + 36490*y^39 + 41423*y^38 + 35792*y^37 + 36950*y^36 + 31086*y^35 + 38970*y^34 + 12439*y^33 + 7963*y^32 + 16150*y^31 + 11382*y^30 + 3038*y^29 + 20157*y^28 + 23531*y^27 + 32866*y^26 + 5428*y^25 + 21132*y^24 + 13443*y^23 + 28909*y^22 + 42716*y^21 + 6567*y^20 + 24744*y^19 + 8727*y^18 + 14895*y^17 + 28172*y^16 + 30903*y^15 + 26608*y^14 + 27314*y^13 + 42224*y^12 + 42551*y^11 + 37726*y^10 + 11203*y^9 + 36816*y^8 + 5537*y^7 + 20301*y^6 + 17591*y^5 + 41279*y^4 + 7999*y^3 + 33753*y^2 + 34551*y + 9659")
e = 65537p = n.factor()[0][0]
q = n.factor()[1][0]
fai_n = (pow(43753,p.degree())-1) * (pow(43753,q.degree())-1)
d = inverse_mod(e,fai_n)temp_result = R("1")
while True:if d % 2 == 1:temp_result = (temp_result * c) % nd = d - 1c = (c * c) % nd = d / 2if d == 0:break
print(temp_result)import re
# result = str(temp_result)
result = "125*y^62 + 111*y^61 + 114*y^60 + 117*y^59 + 53*y^58 + 51*y^57 + 51*y^56 + 100*y^55 + 106*y^54 + 110*y^53 + 102*y^52 + 106*y^51 + 100*y^50 + 104*y^49 + 101*y^48 + 117*y^47 + 52*y^46 + 52*y^45 + 57*y^44 + 48*y^43 + 50*y^42 + 107*y^41 + 35*y^40 + 101*y^39 + 114*y^38 + 117*y^37 + 99*y^36 + 101*y^35 + 115*y^34 + 110*y^33 + 105*y^32 + 95*y^31 + 116*y^30 + 117*y^29 + 98*y^28 + 95*y^27 + 110*y^26 + 117*y^25 + 102*y^24 + 95*y^23 + 115*y^22 + 105*y^21 + 95*y^20 + 97*y^19 + 101*y^18 + 107*y^17 + 105*y^16 + 95*y^15 + 109*y^14 + 111*y^13 + 114*y^12 + 102*y^11 + 95*y^10 + 65*y^9 + 83*y^8 + 82*y^7 + 123*y^6 + 114*y^5 + 118*y^4 + 101*y^3 + 116*y^2 + 97*y + 119"li_result = re.findall(r'\d+',result)
li_flag = []
# print(li_result)
for i in range(0,len(li_result),2):li_flag.append(li_result[i])
li_flag.append("119")
# print(li_flag)
for i in li_flag[::-1]:print(chr(int(i)),end="")

参考文章

这篇文章有很多关于sagemath的多项式操作(14条消息) SageMath域上多项式操作_m0_46161993的博客-CSDN博客_域上的多项式

(14条消息)watevrCTF 2019]Swedish RSA_前方是否可导？的博客-CSDN博客