线性规划——引入

1. 线性规划的标准形式

①目标函数的优化方向都是求$min$，可以通过将$max$取反转化

②为了使非平凡约束中的关系始终为等号：

• 松弛变量：引入新变量，使小于等于号变等号
• 剩余变量：引入新变量，使大于等于号变等号

③为了使平凡约束中的关系始终大于等于0（即消除自由变量）：

2. 线性规划的基本概念

对于标准线性规划：

①基： $A$中$m$列向量组成的线性无关的矩阵$B$（$B$矩阵可逆），叫线性规划式的基

②基向量： 基$B$中任意一个列向量为一个基向量

③基变量： 基向量对应原线性规划的变量$x_{ji}$为基变量，其余为非基变量

④基本解： 方程组$B{X}_B=b$的解，$X_B=B^{?1}b$，其余非基变量全部为0，这样基变量的值和非基变量的值构成原线性规划的解，叫基本解。若基变量都非0，即基本解中非0个数为$m$，则为非退化的基本解，否则为退化的基本解。

⑤可行解： 在约束域S中的向量$X$：

⑥基本可行解： 既是基本解又是可行解的向量$X$，即所有分量非负的基本解，因为基本解已经满足非平凡约束了

⑦最优基可行解： 所有基本可行解中，目标函数值最优的，叫最优基可行解。最优基可行解对应的基叫最优基

⑧顶点、极点： 设$X_0\in D?R_n$，$D$是凸集，如果$X_0$不能表示为$D$中其它任 意两个不同点的凸组合，则称$X_0$为$D$的顶点或极点

3. 解的基本性质

①设$X$是标准线性规划的可行解，则$X$是基可行解的充要条件是$X$的非零分量在$A$中所对应的列向量组线性无关
说明：可行解保证了$X\ge 0$，因此要保证是基可行解，只需保证$X$对应的向量组为基即可，即$X$的非零分量在$A$中所对应的列向量组线性无关。

②标准线性规划的可行解$X$是可行集$S$的顶点的充要条件是$X$是基可行解
说明：主要告诉我们$X$是基可行解则$X$是可行集$S$的顶点

③若标准线性规划有最优解，则必在其可行集S的顶点处取得

4. 单纯形法

方法背景： 找出标准线性规划所有的基可行解很困难，尤其当$n>>m$时，指数时间
基本思想： 从线性规划的某一个顶点出发，沿着使目标函数值下降的方向寻找下一个顶点

前提假设： 我们在原线性规划$A$中能找到一个单位矩阵的基，设
$$A=(I,N)$$

原线性规划可以转化为如下形式

①最优解判别准则（如何判断我们得到的解是否是最优解，然后终止迭代）：
上述的一个基可行解为$X_0=(b,0)$，目标函数值为：

设$X=(X_I,X_N)$是任意一个可行解，用非基变量表示，目标函数值为：

当对于任意一个可行解$X$，都有$f(X^0)\le f(X)$时，此时的基可行解为最优解，即
因为$X_N\ge 0$，若$C_I^{T}N?C_N^T\le 0$，则有$f(X^0)\le f(X)$

结论： 对于存在单位矩阵基的线性规划，当$C_I^{T}N?C_N^T\le 0$时，即所有判别数$\le 0时，$则$X_0=(?b,0)?$就是这个线性规划的最优解

用分量形式表示，$P_j$是一个单位向量，基变量和非基变量的判别数表示如下（基变量的判别数为0，实际其对应的$N$可以看作单位矩阵$I$，不用算一定为0）：

结论: 若线性规划的某个判别数${\sigma }_j>0$，而相应的列向量$P_j\le 0$，则线性规划无最优解。由于基变量的判别数一定为0，因此可以缩小范围。若非基变量的判别数${\sigma }_j>0$，而相应的列向量$P_j\le 0$（所有分量小于等于0），则线性规划无最优解