CodeForces 616E Sum of Remainders

题目

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题目大意

给定$n,m$求$\sum_{i=1}^{m}(n\mod i)$。

思路

暴力？？？$10^{13}$，早就炸了。。。

我们就用数学方法分析一下：

Step1.变模为求和

众所周知，$n\mod i$是与$n-i\cdot\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$等价的，不信可以找几个数算一算。

记$S=\sum_{i=1}^{m}(n\mod i)$，不难推出$S=n\cdot m-\sum_{i=1}^{m}{i\cdot\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}$。所以，我们成功地将模运算转化为了求和运算。

Step2.$10^{13}$？

$n\cdot m$的计算对于我们来说是极其容易的，难点就是后面的那个$\sum_{i=1}^{m}{i\cdot\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}$。

作为一个在数学世界里搞了N年事情的大佬，经验能够告诉我：$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的结果有些是一样的，于是区间$[1,m]$就被分成了许多个具有不同$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$的值所构成的区间。

不明白？举个例子：令$n=18$

很容易发现，区间$[1,18]$被分为了$[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,6],[7,9],[10,18]$七个区间，而这七个区间都可以使用等差数列求出和。

Step3.计算区间？？

我们容易发现，每个区间的开始就是上一个区间的结束+1 （废话）。

我们设区间$i$的开头为$l_i$，结尾为$r_i$，不难得出递推式：

$$l_i=r_{i-1}+1\\r_i=\frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}$$
边界条件就是 $l_1=1,r_1=1$。

Step4.计算答案

终于到了激动人心的时刻了！

我们由上面三步可得，区间$[l_i,r_i]$是一个等差数列，所以对于这个区间，答案应减去：

$$x_i\cdot\frac{(r_i-l_i+1)\cdot(l_i+r_i)}{2}$$
其中 $x_i=\frac{n}{i}$。

实现细节

注意应边模边计算。

正解代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long ll;
const int Mod=1e9+7;ll N,M;ll GetSum(ll x) {
   //等差数列return (x%Mod)*((x+1)%Mod)/2%Mod;
}
ll Sum(ll l,ll r) {return GetSum(j)-GetSum(i-1);
}ll ModAdd(ll x,ll y) {return (x%Mod+y%Mod)%Mod;
}
void ModSub(ll &ans,ll i,ll j,ll x) {ans=ModAdd(ans,Mod-Sum(j,i-1)*x%Mod);
}int main() { #ifdef LOACLfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifscanf("%lld %lld",&N,&M);ll ans=(N%Mod)*(M%Mod)%Mod;M=min(N,M);//当N>i时，x=0，不需要再算for(ll i=1,j,x;i<=M;i=j+1) {x=N/i;j=min(N/max(x,1*1LL),M);ModSub(ans,i,j,x);}printf("%lld\n",ans);return 0;
}