【CSP-S2019】D2T1 Emiya 家今天的饭_综合

CSP-S2019 D2T1 Emiya 家今天的饭

题目

题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种烹饪方法，且会使用 $m$ 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $\sim n$ 编号，对主要食材从 $\sim m$ 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_{i,j}$ ? 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜（ $\leq i \leq n, 1 \leq j \leq m$ ），这也意味着 Emiya 总共会做 $∑i=1n∑j=1mai,j\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}$ ? 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言：

Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 $\geq 1$
Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 $?k2?\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 道菜）中被使用

这里的 $?x?\lfloor x \rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数。

这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998244353$ 取模的结果。

分析

考虑用容斥去掉这个 $?k2?\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 限制，即用总方案数减掉不合法的方案数。

如果不考虑 $?k2?\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 的限制的话，总方案数应该是：

$∏i=1n(∑j=1mai,j+1)?1\prod\limits_{i=1}^{n}\left ( \sum\limits_{j=1}^{m}a_{i,j}+1\right )-1$

我们减掉那个 $1$ 是为了排除一道菜也不做的方案。

然后我们考虑用 DP 来计算不合法的方案数。我们先枚举哪个主要食材超过了限制。

记 $si=∑j=1mai,js_i=\sum\limits_{j=1}^{m}a_{i,j}$ ，记状态 $f (i, j, k)$ 为当前考虑到了第 $i$ 种的做菜方式，已经做了 $j$ 道菜，其中 $k$ 道菜用了我们枚举的主要食材。

转移显然，但这个做一次是 $O(n^3)$ 的，再加上枚举的食材数量，总时间复杂度达到了 $O(mn^3)$ 。显然超时。

考虑优化。我们开一开脑洞，不难发现只有 $?k2?≥j\lfloor \frac{k}{2} \rfloor \geq j$ 的方案是不合法的，于是变一下这个不等式得到： $2 j ? k > 0$ ，于是我们可以令新的 $j^{'} = 2 j ? k$ ，定义新的状态 $f (i, j^{'})$ 为选了前 $i$ 种做法，其中 $2 j ? k$ 为 $j^{'}$ 的方案数。

记我们选择的主食为 $t$ ，则有如下转移方式：

当 $j^{'}$ 不为 $? n$ 时， $f (i, j^{'})$ 对 $f (i + 1, j^{'} ? 1)$ 产生 $\times (s_i - a_{i, t})$ 的贡献；
不选择第 $i$ 种做菜方式，则 $f (i, j^{'})$ 对 $f (i + 1, j^{'})$ 产生 $f (i, j^{'})$ 的贡献；
选择第 $i$ 种做菜方式，则 $f (i, j^{'})$ 对 $f (i + 1, j^{'} + 1)$ 产生 $\times a_{i, t}$ 的贡献。

最后不合法的方案数就是 $j^{'} > 0$ 的 $f (i, j^{'})$ 的总和。

注意 $j^{'}$ 可能是个负数，我们必须将坐标平移 $n$ 个单位。

本质上来说就是一个背包。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef long long ll;
const int Maxn = 100;
const int Maxm = 2000;
const int Mod = 998244353;int N, M;
int A[Maxn + 5][Maxm + 5];
int sum[Maxn + 5];ll f[Maxn + 5][Maxn * 2 + 5];
ll Solve(int typ) {
    for(int i = 0; i <= N; i++)for(int j = 0; j <= N * 2; j++)f[i][j] = 0;f[0][N] = 1;for(register int i = 0; i < N; i++)for(register int j = 0; j <= N * 2; j++) {
    if(j) f[i + 1][j - 1] = (f[i + 1][j - 1] + f[i][j]* (sum[i + 1] - A[i + 1][typ]) % Mod) % Mod;f[i + 1][j] = (f[i + 1][j] + f[i][j]) % Mod;f[i + 1][j + 1] = (f[i + 1][j + 1] + f[i][j]* A[i + 1][typ] % Mod) % Mod;}ll ret = 0;for(int i = N + 1; i <= N * 2; i++)ret = (ret + f[N][i]) % Mod;return ret;
}int main() {
    
#ifdef LOACLfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifscanf("%d %d", &N, &M);for(int i = 1; i <= N; i++)for(int j = 1; j <= M; j++)scanf("%d", &A[i][j]);ll ans = 1;for(int i = 1; i <= N; i++) {
    for(int j = 1; j <= M; j++)sum[i] = (sum[i] + A[i][j]) % Mod;ans = ans * (sum[i] + 1) % Mod;}ans = (ans - 1 + Mod) % Mod;for(register int i = 1; i <= M; i++)ans = (ans - Solve(i) + Mod) % Mod;printf("%lld\n", ans);return 0;
}