前言

本篇博客主要介绍了有关最长上升子序列(LIS)的三种DP解决方法,分别是O(n^2)和O(nlogn)(贪心加二分)两种DP

问题介绍

对于一个有序序列$x_1,x_2,x_3,...,x_n$ 我们可以从其中得到一序列$a_{i_1},a_{i_2},a_{i_3},...,a_{i_m}$满足$a_{i_1}<a_{i_2}<a_{i_3}<...<a_{i_m}$且$1\leq i_1<i_2<i_3<...<i_m\leq n$这样的字序列被称为该序列的上升子序列,也称单调递增子序列,而我们目标就是求一个序列中最长的单调递增的子序列。
如对于一有序序列{1,6,2,5,4,2,1,6},{1,5,6}为其一的上升子序列,而{1,2,4,6}就为其最长上升子序列.

求解方法

1.$O(n^2)$朴素算法

那么既然这是一道DP问题,我们可以发现它具有无后效性和最优子结构,因为它这个序列首先不会改变,而对于它的子序列求出的LIS会也会对答案有贡献。
那么f[i]定义为：以$x_i$结尾的最长上升子序列的长度
我们首先可以发现,单个位置的f[i]肯定为1因为它可以以自己作为一[1,i]的上升子序列
然后我们假设f[1],f[2],…,f[i-1]的值都已求出,而我们的目标就是求f[i]的值.也就是要求状态转移方程式.
我们现在已知道在1~j(1<=j< i)的最长上升子序列,我们的目标就是在一合法的1~j且该子序列的LIS最长的后添加一i,那是不是如果$x_j<x_i$就可以进行拼接？也就是转移。那我们就可以得到状态转移方程式;

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
int read(){int f=1,x=0;char s=getchar();   while(s<'0'||s>'9'){
   if(s=='-')f=-1;s=getchar();}  while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}return x*f;
}
#define MAXN 1000
int x[MAXN+5],f[MAXN+5];
int main()
{int n=read(),ans=1;for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=1;for(int j=1;j<=i-1;j++)if(x[j]<x[i]&&f[j]+1>f[i])f[i]=f[j]+1;ans=max(ans,f[i]);}printf("%d\n",ans);return 0;
}

2.$O(n·log_n)$贪心+二分优化

我们的状态定义就会变得跟之前的不一样了,但我们还是可以通过刚才的定义来观察一下：
我们对于$i$将会找到它之前满足条件的最大的f[j]转移过来也就是长度最大,那其实我们可以来建一个一长度为下标的数组f,我们的目标是每次能直接将low数组中小于i的最大的一个下标直接加1就能得到1~i中以i结尾的最长的LIS,f[i]在这里定义为：
$f[i]:长度为i的上升子序列中末尾元素的最小值$
因为这样是一贪心策略,对于一定位置i,当一上升子序列长度一定是,末尾元素越小越利于后面元素的选择
也就是大于等于i的第一个数的下标,同时由于这里i在这里必然小于f[i]还可以顺带更新f[i]，我们这样做了过后整个f数组是呈严格上升的,于是我们就能直接二分答案,在这里我们可以直接调用algoriethm里的lower_bound函数,二分一次low数组的时间复杂度的$O(log_n)$，所以总的时间复杂度是$O(n·log_n)$
来一次完整演示：
这是原数组

首先将f[1]更新

然后发现f[1]还是比当前元素大,继续更新

同上

这里发现2比1大,于是更新了f[2]

同上

这里最后就返回了3

程序写起来也极为简洁.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){int f=1,x=0;char s=getchar();   while(s<'0'||s>'9'){
    if(s=='-')f=-1;s=getchar();}  while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}return x*f;
}
#define MAXN 1000
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[MAXN+5],dp[MAXN+5];
int main(){int n=read();memset(dp,0x3f,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),*lower_bound(dp+1,dp+n+1,a[i])=a[i];printf("%d\n",lower_bound(dp+1,dp+n+1,INF)-(dp+1));return 0;
}