文章目录
- 一：线性方程组
- 二：行化简与阶梯形矩阵
- 三：向量方程
- 四：矩阵方程
- 五：线性方程组的解集
- 六：阶段总结
- 七：线性无关
- 八：线性变换
- 九：平移+旋转+缩放（补充）
一：线性方程组
1.线性方程：
2.解的情况：
3.系数矩阵、增广矩阵：
系数矩阵：方程组对应的系数组成的矩阵。
增广矩阵：方程组对应的系数以及最后的常数组成的矩阵。
4.求解线性方程组：
基本思想：
初等行变换：
注：可以对比一下基本思想和初等行变换，其实本质是一样的，因为求结过程是一样的，所以对于等价的矩阵来说，其具有相同的解集。其实很重要的一点，就是行变换是可逆的：
5.结论：求解线性方程组的花间过程利用就是初等行变换。
二：行化简与阶梯形矩阵
1.阶梯型以及行简化阶梯型
任何非0矩阵都可以行化简为阶梯形矩阵、但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵；然而每个矩阵只能化为唯一的行简化阶梯型矩阵。
2.行化简算法
五步法：
其中前4步是用来产生阶梯型矩阵，第5步是产生行简化，详情见下面的例子。
3.线性方程组的解
求解线性方程组的步骤：
前两步判断是否有解（其中无解形式类似于0=b（b不等于0））、然后根据是否有自由变量分为唯一解和无穷多解。
通解的例子：
三：向量方程
1.向量空间
性质：即满足对可加性、数乘都是封闭的。
2.线性组合
其中平行四边形法则以及三角形法则不多说，想了解的自行百度查看。
3.向量方程和增广矩阵的关系
注：可以得出其实求解向量方程就是针对其增广矩阵（线性方程组）求解。
四：矩阵方程
1.本质：
其实矩阵方程Ax=b的由来就是向量方程/向量的线性组合。------线代的另一种表示形式而已。
注：前面已经得出向量方程组和线性方程组的等价关系，如今向量方程组和矩阵方程也是相同的关系，从而得出如下结论：
2.解的存在性：
其理解可以看前面的矩阵方程和向量方程/向量的线性组合关系，其实是一样的，而b其实是属于A的列向量的向量空间的，主要见第四章------这个有点遥远。
五：线性方程组的解集
其实前面已经说过线性方程组的解的过程，这里主要从矩阵方程Ax = b出发。
1.齐次线性方程组
2.非齐次线性方程组
这里只考虑非齐次线性方程组有多个解。
1）先考虑Ax=0，当然这是齐次的。
2）考虑Ax=b
3）通解：一个向量+满足对应的齐次方程组通解。
4）几何理解：其实就是在原来过原点的直线基础上进行了平移，所以同样有多个解。
3.相容方程组下的解集过程
注：相容方程组表示至少有一个解。
六：阶段总结
其实对于线性方程组、矩阵方程、向量方程/向量的线性组合来说其解都对应了无解、唯一解、无穷多解，现在主要对矩阵方程总结一下。
无解： Ax=b，阶梯型矩阵下出现了0=b（b不等于0）的情况；另外还有矩阵的秩判别情况，这个后面补充。
有解： Ax=0肯定有解。对于Ax=0的无穷解以及唯一解主要看行简化阶梯有无自由变量，没有自由变量就是0解，有自由变量就是过原点的直线/平面；Ax=b有解的时候分为唯一解和无穷解，这个同样是看行简化阶梯有无自由变量，没有自由变量就是唯一解，有的话则无穷解是在Ax=0的无穷解的基础上进行平移，所以一般是不过原点的直线/平面。
七：线性无关
八：线性变换
概念： 定义域、值域/余定义域/像的集合等—看看就好
本质： 向量在矩阵的作用下变成另一个向量。
线性变换的性质：
九：平移+旋转+缩放（补充）
参考链接：https://blog.csdn.net/qq_30490125/article/details/53091031
参考书籍：线性代数及其应用（原书第5版）
书籍下载：https://download.csdn.net/download/qq_37534947/13115301