回文子串
问题描述：
输入一个字符串，求出其中最大的回文子串。子串的含义是：在原串中连续出现的字符串片段。回文的含义是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。
解析：
这里介绍O(n)回文子串（Manacher）算法
算法基本要点：首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。
下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）
下面计算P[i]，该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。
这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。
具体代码如下：
if(mx > i) {p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i)); } else {p[i] = 1; }
当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。
对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了
下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因
源代码：
#include <iostream> #include <string> #include <cstring>using namespace std;void findBMstr(string& str) {int *p = new int[str.size() + 1];memset(p, 0, sizeof(p));int mx = 0, id = 0;for(int i = 1; i <= str.size(); i++){if(mx > i){p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));}else{p[i] = 1;}while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]])p[i]++;if(i + p[i] > mx){mx = i + p[i];id = i;}}int max = 0, ii;for(int i = 1; i < str.size(); i++){if(p[i] > max){ii = i;max = p[i];}}max--;int start = ii - max ;int end = ii + max;for(int i = start; i <= end; i++){if(str[i] != '#'){cout << str[i];}}cout << endl;delete p; }int main() {string str = "12212321";string str0;str0 += "$#";for(int i = 0; i < str.size(); i++){str0 += str[i];str0 += "#";}cout << str0 << endl;findBMstr(str0);return 0; }
执行结果：
人一我百！人十我万！永不放弃~~~怀着自信的心，去追逐梦想。