Wilcoxon signed-rank test and U-statistics_综合

Wilcoxon signed-rank是一种非参数检验的统计量，用于检验对称分布的均值是否为0。给出iid数据 $Y1,?,YnY_1,\cdots,Y_n$ ， $Z_j = sign(Y_j)$ ， $R_j$ 为 $Z_j$ 的秩(rank). Wilcoxon signed-rank statistics定义为：

$W=∑jZjRjW=\sum_{j} Z_{j} R_{j}$

并且可以得到其均值为0，方差为 $n (n + 1) (2 n + 1) / 6$ 。
事实上， $W$ 和 $U$ 统计量有很直接的联系。而 $U$ 统计量有很好的性质：

If $Eh2(X1,…,Xr)<∞,\mathrm{Eh}^{2}\left(X_{1}, \ldots, X_{r}\right)<\infty,$ then $n(U?θ?U^)→P0.\sqrt{n}(U-\theta-\hat{U}) \stackrel{P}{\rightarrow} 0 .$ Consequents,
the sequence $n(U?θ)\sqrt{n}(U-\theta)$ is asymptotically normal with mean 0 and variance $r2ζ1,r^{2} \zeta_{1},$ where. with $X1,…,Xr,X1′,…,Xr′X_{1}, \ldots, X_{r}, X_{1}^{\prime}, \ldots, X_{r}^{\prime}$ denoting i.i.d. variables.
$ζ1=cov?(h(X1,X2,…,Xr),h(X1,X2′,….Xr′))\zeta_{1}=\operatorname{cov}\left(h\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{r}\right), h\left(X_{1}, X_{2}^{\prime}, \ldots . X_{r}^{\prime}\right)\right)$

其中 $U^\hat{U}$ 是一个projection，这里不细说。利用这里的结论我们可以知道 $W$ 是渐进正态分布分的。显然根据上面的方差计算我们知道
$3n3Wn→DN(0,1)\sqrt{\frac{3}{n^3}}W_n\overset{D}{\to}N(0,1)$

下面是用R代码做的一个简单模拟，可以看到其渐进正态性表现得不错。

library(ggplot2)
set.seed(1234)
N=10000
n = 1000
W = rep(0,N)
for(j in 1:N)for(i in 1:n){W[j] = W[j] + i*(2*rbinom(1,1,0.5)-1)}Z = W/sqrt(n^3/3)
ggplot() + geom_histogram(aes(Z),stat = "bin",bins = 30)
qqnorm(Z)

histogram
QQplot