如何理解ORB-SLAM g2o优化中的卡方分布

协方差矩阵

为了后续能更好的说明多维向量的卡方分布，有必要先简单介绍下协方差矩阵。

方差和协方差的定义

在统计学中，方差是用来度量单个随机变量的离散程度，而协方差则一般用来刻画两个随机变量的相似程度，其中，方差的计算公式为
$${\sigma }_x^2=\frac{1}{n?1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i?\bar{x}\right)}^2$$
在此基础上，协方差的计算公式被定义为
$$\sigma (x,y)=\frac{1}{n?1}\sum _{i=1}^n\left(x_i?\bar{x}\right)\left(y_i?\bar{y}\right)$$
在公式中，符号$\bar{x}$, $\bar{y}$分别表示两个随机变量所对应的观测样本均值，据此，我们发现：方差 ${\sigma }_x^2$ 可视作随机变量$x$ 关于其自身的协方差$\sigma (x,x)$ .

对于$d$维向量，为了表明向量任意两个维度之间的相似程度（协方差），我们定义协方差矩阵
$$\Sigma =?\begin{array}{ccc}\sigma \left(x_1,x_1\right)& ?& \sigma \left(x_1,x_d\right)\\ ?& ?& ?\\ \sigma \left(x_d,x_1\right)& ?& \sigma \left(x_d,x_d\right)\end{array}?\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$$

特别地，若协方差矩阵为对角阵，则说明任意两个维度的变量相互独立。

卡方分布

若n个相互独立的随机变量ξ?，ξ?，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）

ORB-SLAM中的卡方分布

误差

就特征点法的视觉SLAM而言，一般会计算重投影误差。具体而言，记 $u$ 为特征点的2D位置，$\bar{u}$ 为由地图点投影到图像上的2D位置。重投影误差为
$$\mathbf{e}=\mathbf{u}?\overline{\mathbf{u}}$$
重投影误差服从高斯分布
$$\mathbf{e}?\mathcal{N}(0,\mathbf{\Sigma })$$
其中，协方差 $\mathbf{\Sigma }$一般根据特征点提取的金字塔层级确定。具体的，记提取ORB特征时，图像金字塔的每层缩小尺度为$s$ (ORB-SLAM中为1.2)。在ORB-SLAM中假设第0层的标准差为 $p$ 个pixel (ORB-SLAM中设为了1个pixel)；那么，一个在金字塔第$n$层提取的特征的重投影误差的协方差为
$$\mathbf{\Sigma }={\left(s^n\times p\right)}^2\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
误差向量$e$的第一维表示投影在$x$轴方向的误差，第一维表示投影在$y$轴方向的误差, 根据协方差矩阵可以看出，我们认为在$x$轴和$y$方向上的误差是独立的，且服从均值为0，方差为对角线元素的高斯分布。此方差与特征点所在金字塔层数有关，层数越高，方差越大。因为层数越高，则产生一个像素误差所造成的不确定性越大。所以
$$\mathbf{e}?\mathcal{N}(0,\mathbf{\Sigma })$$
参照视觉SLAM十四讲P124-P124，对于一个正态分布的向量，我们要最小化马氏距离，故误差项定为
$$r={\mathbf{e}}^T{\mathbf{\Sigma }}^{?1}\mathbf{e}$$
利用协方差加权，起到了归一化的作用。上式，可以变为
$$r={\left({\mathbf{\Sigma }}^{?\frac{1}{2}}\mathbf{e}\right)}^T\left({\mathbf{\Sigma }}^{?\frac{1}{2}}\mathbf{e}\right)$$
而
$$\left({\mathbf{\Sigma }}^{?\frac{1}{2}}\mathbf{e}\right)?\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$$
为多维标准正太分布。也就是说不同金字塔层提取的特征，计算的重投影误差都被归一化了，或者说去量纲化了，白化了。。。那么，我们只用一个阈值就可以了。
若把$r$写为标量形式，则为两个误差随机变量的平方和，且这两个误差随机变量都服从标准正太分布。故$r$服从卡方分布

阈值

误差的问题已经解决了，下面的问题是如何选择阈值。$r$ 可以看做两个独立的服从标准正太分布随机变量的平方和，它服从2个自由度的Chi-squared distribution卡方分布。
记概率分布（累积分布函数）为 $\alpha =F(x)$ 。给定一个$\alpha$可以确定一个区间 $\left[0,F^{?1}(\alpha )\right]$ 。可以认为，$r$ 落在这个区间内，则为内点，落在这个区间外则为外点。 $F^{?1}(\alpha )$ 就是我们要找的阈值$x$ 。
$$\{\begin{array}{l}\text{ 内点 }r<x\\ \text{ 外点 }r?x\end{array},x=F^{?1}(\alpha )$$
一般取$\alpha$为95%，一个内点只有5%的可能被错误的认为是外点。关于 $F^{?1}(\alpha )$ ，前人已经搞了一个表。根据卡方分布表ORB-SLAM2取 $\alpha =95$，对应的单目投影为2自由度，因此阈值为5.99；对应的双目投影为3个自由度，因此阈值为7.81。

参考：

1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/58556978
2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/37609917