1730 数字三角形问题_综合

Problem Description

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

对于给定的由n行数字组成的数字三角形，计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

Input

输入数据的第1行是数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99之间。

Output

输出数据只有一个整数，表示计算出的最大值。

Sample Input

Sample Output

1.数字三角形记忆递归型动规程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 101
int d[maxn][maxn];
int n;
int maxSum[maxn][maxn];//表示从当前位置的数至底的路径经过的数字和的最大值
int MaxSum(int i,int j)
{if(maxSum[i][j]!=-1)return maxSum[i][j];if(i==n)maxSum[i][j]=d[i][j];else{int x=MaxSum(i+1,j);int y=MaxSum(i+1,j+1);maxSum[i][j]=max(x,y)+d[i][j];}return maxSum[i][j];
}
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>d[i][j];maxSum[i][j]=-1;}}cout<<MaxSum(1,1)<<endl;return 0;
}

2.递归转成递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 101
int d[maxn][maxn];
int n;
int maxSum[maxn][maxn];//表示从当前位置的数至底的路径经过的数字和的最大值int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>d[i][j];}}for(int j=1;j<=n;j++)maxSum[n][j]=d[n][j];for(int i=n-1;i>0;i--){for(int j=1;j<=i;j++){maxSum[i][j]=d[i][j]+max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]);}}cout<<maxSum[1][1]<<endl;return 0;
}

3.空间优化

没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j)(纯递归函数)，只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组maxSum[maxn]即可，即只要存储一行的MaxSum值就可以。

进一步考虑，连maxSum数组都可以不要，直接用d的第n行代替maxSum即可。使用滚动数组。

节省空间，时间复杂度不变。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 101
int d[maxn][maxn];
int n;
int *maxSum;int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){cin>>d[i][j];}}maxSum=d[n];//maxSum指向第n行for(int i=n-1;i>0;i--){for(int j=1;j<=i;j++){maxSum[j]=d[i][j]+max(maxSum[j],maxSum[j+1]);}}cout<<maxSum[1]<<endl;return 0;
}