题意

求出

$$\sum_{i=1}^{n}C_n^i*i^k$$

题解

不错的题啊
比赛的时候没有做出来
主要是我不会斯特林推式子
那就用垃圾一点的方法吧

我们考虑$i^k$的组合意义
其实就是我们现在有k个不同的东西，放进i个不同箱子里面
那你仔细一想啊
我们k个不同的东西，能用多少个箱子
最多不就是k个不同的箱子嘛
于是我们可以DP一下
$f[i][j]$表示我们现在放到第i个物品，已经有$j$个箱子有东西了了
由于物品的箱子都互不相同
所以可以得到递推式:
$f[i][j]=f[i-1][j-1]*(n-j+1)+f[i-1][j]*j$
那么答案是什么呢？
就是

$$\sum_{i=1}^kf[k][i]*2^{(n-i)}$$
因为你剩下的箱子是没有用的，所以选和不选都是一种方案
然后这题就做完了

CODE:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=1e9+7;
const LL N=5005;
LL n,k;
LL f[N][N];
LL pow (LL x,LL y)
{if (y==0) return 1;if (y==1) return x;LL lalal=pow(x,y>>1);lalal=lalal*lalal%MOD;if (y&1) lalal=lalal*x%MOD;return lalal;
}
int main()
{scanf("%I64d%I64d",&n,&k);f[0][0]=1;for (LL u=1;u<=k;u++)//选了多少个东西 for (LL i=1;i<=k;i++)//用到第几个盒子 f[u][i]=(f[u-1][i-1]*(n-i+1)%MOD+f[u-1][i]*i)%MOD;LL ans=0;for (LL u=1;u<=min(n,k);u++) ans=(ans+f[k][u]*pow(2,n-u)%MOD)%MOD;printf("%I64d\n",ans);return 0;
}